2.6. Исследование функций с помощью производных.

Интервалы монотонности, точки экстремума.

41

Необходимые и достаточные условия экстремума

Признаки монотонности функции

Определение 32 . Функция y = f (x) называется возрастающей (убыва- ющей) на промежутке (a; b), если для любых x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ верно нера- венство f (x₁) < f (x₂) (f (x₁) > f (x₂)).

Теорема 26. (необходимый признак монотонности)

1) Если дифференцируема функция f (x) в интервале возрастает, то ее

производная f ⁰ (x) неотрицательна: f ⁰ (x) ≥ 0;

2) если дифференцируема функция f (x) в интервале убывает, то ее про-

изводная f ⁰ (x) неположительна: f ⁰ (x) ≤ 0;

3) если дифференцируема функция f (x) в интервале постоянна, то ее

производная f ⁰ (x) тождественно равна нулю: f ⁰ (x) ≡ 0.

_{Доказательство. 1) Пусть функция f (x) в данном интервале возрастает,}

т. е.

если ∆x > 0, и

f (x + ∆x) > f (x) ,

_{f (x + ∆x) < f (x) ,}

если ∆x < 0, для любого x в этом интервале. Тогда отношение

^∆y ₌ ^{f (x + ∆x) − f (x)} _{> 0}

^{∆x ∆x}

_{независимо от знака ∆x и, следовательно,}

_f ⁰ _{(x) = lim}

_∆y

_{= lim}

f (x + ∆x) − f (x)

_{≥ 0.}

^{∆x→0 ∆x}

^{∆x→0 ∆x}

Доказательство второй и третьей частей теоремы следует провести самостоятельно.♠

_{Теорема 27. (достаточный признак монотонности) Пусть функция f (x)}

непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема в интервале (a; b). Тогда

1) Если производная f ⁰ (x) > 0 в интервале (a; b), то функция f (x) воз-

растает на отрезке [a; b];

2) если производная f ⁰ (x) < 0 в интервале (a; b), то функция f (x) убывает

на отрезке [a; b].

Доказательство. 1) Возьмем произвольные точки x₁, x₂ ∈ (a; b) такие, что

^x₁ ^{< x}₂^{. Применим к интервалу [x}₁^{; x}₂^{] формулу конечных приращений (52),}

тогда

f (x₂) − f (x₁) = f ⁰ (ξ) (x₂ − x₁) ,

42

где x₁ < ξ < x₂. Так как x₂ − x₁ > 0 и f ⁰ (ξ) > 0, то f (x₂) − f (x₁) > 0, т. е.

f (x₂) > f (x₁) ,

что и требовалось доказать.Доказательство второй части теоремы про- вести самостоятельно.♠

Экстремумы функции

Определение 33 . Точка x₀ называется точкой максимума (точкой ми- нимума) функции y = f (x), если для всех x из некоторой проколотой окрест- ности U_x0 = {x : 0 < |x − x₀| < ε} точки x₀ выполняется неравенство

f (x) < f (x₀) , (f (x) > f (x₀)) . (60) Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 28. (необходимое условие существования точек экстремума) Если точка x₀ является точкой экстремума функции y = f (x), то ее производная

в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. По теореме Ферма в тех внутренних точках интерва- ла, в которых дифференцируема функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения, ее производная равна нулю.

Функция может иметь экстремумы и в точках, в которых она не диф- ференцируема. Ее производная в этой точке равна бесконечности, тогда та- кие точки называются точками возврата (или заострения); если левая и пра- вая производные различны, тогда такие точки называются угловыми точками

кривой.♠

Точки,в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Критические точки не обязательно являются точками экстремума.

П р и м е р 23. Найти критические точки функции y = x³.

_{Решение. Область определения функции y = x}³ _{вся числовая прямая.}

Найдем производную этой функции:

y⁰ = x^{3 0} = 3x².

Производная равна нулю в точке x = 0. Точка x = 0 является критической точ- кой, но в этой точке функция не имеет экстремума.

Теорема 29. (первое достаточное условие существования экстремума) Если при переходе через точку x₀ производная дифференцируемой функции y = f (x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка x₀ есть точка максимума (минимума) функции y = f (x).

43

Доказательство. Пусть f ⁰ (x) при переходе через точку x₀ меняет знак с плюса на минус. Если x < x₀ и f ⁰ (x) > 0, то по теореме 7 для всех x таких, что x < x₀ выполняется неравенство f (x) < f (x₀). Если x > x₀ и f ⁰ (x) < 0, то по теореме 7 для всех x таких, что x > x₀ выполняется неравенство f (x) < f (x₀). Таким образом, из определения 4 следует, что точка x₀ является точкой макси-

мума. Доказательство для существования точек минимума провести самостоятельно. ♠

2.7. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба, асимптоты. Построение графика функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Основные приемы интегрирования: подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменных

3.2. Интегрирование простейших дробей и рациональных функций.

Интегрирование иррациональных, тригонометрических функций

3.3. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства.

44

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула

Ньютона-Лейбница

3.4. Вычисление определенных интегралов: замена переменной, интегрирование по частям. Приближенные методы интегрирования

3.5. Геометрические приложения определенного интеграла:

площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела

3.6. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции