2.Матрица элементарного поворота

Рассмотрим матрицу элементарного поворота в двух пространствах:

1)в пространстве R²:

Рассмотрим матрицу , где с=cosα, s=sinα .

Тогда .

Докажем, что U – ортогональная матрица:

;

А следовательно, U – ортогональная матрица.

Задача: доказать, что линейный оператор φ, соответствующий матрице U, есть оператор поворота на угол α.

2) в пространстве Rⁿ:

Рассмотрим матрицу , где с=cosα, s=sinα .

Т.е. u_pp = u_qq = c, u_pq = - u_qp = s, u_ii = | i≠p,q | =1, u_ij = | i,j≠p,q | = 0.

Задача: доказать, что линейный оператор Φ, соответствующий матрице U, есть оператор поворота на угол α в n-мерном пространстве.

§2. Вариационное свойство собственных значений

Матрица А неотрицательно определена, если .

Лемма Собственные числа неотрицательно определенной матрицы неотрицательны.

Доказательство

Пусть А – неотрицательно определенная матрица, λ₁ – её собственное число.

Тогда .

Т.к. .

Что и требовалось доказать.

Матрица А симметричная , если .

Лемма 1 Если А симметрична, неотрицательно определена и (Ay,y)=0, то Ay=0. Геометрически: А не может сделать вектор у ортогональным самому себе, а может лишь обратить его в ноль.

Доказательство

Рассмотрим выражение (A(y+tz),y+tz),

где z – произвольный вектор;

t – вещественное, малое число (t<<1).

Если бы (Ay,z)≠0, то знак всего выражения можно было бы сделать отрицательным, выбирая знак t, что противоречило бы условию неотрицательной определенности А.

Значит, (Ay,z)=0.

Т.к. элеент z выбирался произвольно, то Ay=0.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим выражение: .

Функция n переменных F(y)=(Ay,y) непрерывна на единичной сфере . Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса F(y) достигает на S₁ своих точных граней. Это означает, что .

Лемма 2 (вариационное свойство) Если А – симметричная матрица, то - собственное число матрицы А.

Доказательство

Из приведенных выше рассуждений и достигается в некоторой точке .

Т.к. , то || y ||=1, а значит .

Получим: . (*)

Из выбора точку y’ верно: (Ay,y)≤λ₁ для любого вектора y из S₁.

Т.е. Последнее утверждение верно и для любого вектора x из пространства Rⁿ. Т.е. - неотрицательно определенная матрица.

Следовательно, из (*), используя Лемму 1, получим:

, т.е. λ₁ – собственное число матрицы А.

Что и требовалось доказать.

§3. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду

Из теорем алгебры:

Любое собственное число λ произвольной матрицы А равно скалярному произведению (Ax,x), где x – некоторый вектор: || x ||=1.

Первый шаг

Пусть λ₁ – максимальное собственное число матрицы А, т.е. .

Обозначим как y¹ – собственный вектор матрицы А, отвечающий λ₁: || y¹ ||=1.

Второй шаг

Обозначим как L_n-1 – подпространство, ортогональное подпространству, образованному вектором y¹ (т.к. dim {y¹}=1, то dim L_n-1=n-1).

Очевидно, что L_n-1 инвариантное подпространство для А (т.е. если , то ).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

.

Т.о. y² – собственный вектор матрицы А, ортогональный y¹.

Третий шаг

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {y^k}: || y^k ||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λ_k}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

.

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: Y^TAY=diag(λ₁… λ_n) или A=Ydiag(λ₁… λ_n)Y^T.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λ_к соответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.