1.Интерполяционные квадратурные формулы
Пусть требуется найти определенный
интеграл
,
где f(x) – дискретная функция, заданная в узлах x1…xn;
q(x)>0 – весовая функция.
Тогда приближенная формула вычисления имеет вид:
(1)
Правая часть формулы (1) – квадратура.
Может быть применен следующий подход: функция f(x) аппроксимируется интерполяционным полиномом Pn-1(x) по узлам x1…xn.
Получим для этого случая формулу (1) и квадратуру искомого интеграла.
Предполагается, что
.
Получим:
.
При этом
- интерполяционный полином в Лагранжа,
- погрешность интерполяции.
Подставим в (1) вместо функции f(x) полином Pn-1(x), получим:
- интерполяционная квадратура, где
.
(2)
Погрешность в этом случае представима
в виде:
.
По построению интерполяционная квадратурная формула точна,
если f(x)=Pn-1(x).
Теорема 1 Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена Pk(x),
k ≤ n-1 тогда и только тогда, когда она – интерполяционная.
Доказательство
Пусть формула (1) точна для любого многочлена Pk(x), k ≤ n-1, т.е.
.
Докажем, что тогда Ak находятся по формуле (2).
Рассмотрим функции
-
многочлены (n-1) степени:
.
Тогда выполняется равенство:
,
т.е. Ai
вычисляются по формуле (2).
Пусть
формула (1) интерполяционная, т.е. Ak
вычисляются по (2). Докажем, что тогда
(1) точна для любого многочлена Pk(x),
k ≤ n-1.
Рассмотрим произвольный многочлен Pk(x), k=n-1.
Его представление в форме Лагранжа имеет вид:
.
Его интеграл:
.
С другой стороны, его квадратура
,
где Ak
вычисляются по формуле (2), т.е I=J.
Что и требовалось доказать.
Оценим погрешность квадратурной формулы интерполяционного типа:
,
где
.
2.Интерполяционные квадратурные формулы наилучшей алгебраической точности
Постановка задачи
В предыдущем пункте было доказано, что используя n узлов интерполяции функции f(x), можно получить квадратурные формулы, точные для многочленов степени , не превосходящей (n-1).
Необходимо построить такую квадратурную формулу, которая при заданном n была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени (квадратурная формула улучшенной алгебраической точности).
Докажем их существование и точность для любого многочлена степени,не превосходящей (2n-1).
Теорема 2 Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена Pk(x),
k ≤ (2n-1) тогда и только тогда, когда
1)она – интерполяционная;
2)ωn(x) ортогональна с весом q(x) любому многочлену степени k ≤ (n-1).
Доказательство
Пусть формула (1) точна для любого многочлена Pk(x), k ≤ (2n-1).
Тогда выполняются условие Теоремы 1.
Рассмотрим многочлен P2n-1=ωn(x)Pn-1(x)+Qn-1(x): P2n-1(xk)= Qn-1(xk), k=1..n.
По условию
,
где Ak
вычисляются по формуле (2).
С другой стороны,
.
Полученные формулы верны для любых многочленов степени, не превосходящей (n-1), в частности и для Qn(x)≡0. Тогда получим:
.
Пусть выполняются условия 1), 2). Пусть P2n-1 – произвольный многочлен степени (2n-1). Тогда он представим в виде:
P2n-1=ωn(x)pn-1(x)+qn-1(x) и P2n-1(xk)= qn-1(xk), k=1..n.
Следовательно,
.
Первое слагаемое равенства равно 0 из условия 2).
Второе слагаемое равняется из Теоремы
1:
,
где Ak
вычисляются по формуле (2).
Что и требовалсь доказать.