3.Главное собственное число

Пусть А=(a_ij) – симметричная матрица. Метод максимизации столбцов дает следующее:

Перемножим равенства:

максимальное собственное число матрицы A² (из метода максимизации).

λ=±b – главное собственное число симметричной матрицы А.

§8. Метод вращения

Рассмотрим симметричную матрицу А=(а_ij). Обозначим ортогональную матрицу вращения U_pq(α):

u_qq = u_pp= c =cosα, -u_pq = u_qp= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю.

Рассморим вращение матрицы в плоскости O_pq:

Матрица В=AU_pq отличается от А столбцами b_p и b_q:

b_p=c·a_p+s·a_q

b_q= -s·a_p+c·a_q

b_j=a_j, j≠p,q

Матрица отличается от В р-ой и q-ой строками:

d_pj=c·b_pj+s·b_qj

d_qj= -s·b_pj+c·b_qj

Остальные строки не изменяют.

Тогда,

Разобьем S на диагональную и недиагональную части:

Заметим:

При элементарном вращении D недиагональные элементы а_pi, a_qi и а_ip, a_iq (i≠p,q) меняются так, что попарные суммы квадратов их модулей сохраняются.

Кроме этих элементов вне диагонали меняется элемент а_pq.

Т.е. величина S₂ меняется при элементарном вращении настолько, насколько изменится |a_pq|².

Будем подбирать вращения так, чтобы S₂ максимально уменьшалась.

Положим d_pq=0:

d_pq=c·b_pq+s·b_qq=c(-s·a_pp+c·a_pq)+s(-s·a_{q p}+c·a_qq)=

α выберем следующим образом:

1) при а_pp cos2α=0 => α=π/4

2) иначе