Глава2. Численное дифференцирование

Постановка задачи

Для дискретной функции f(x), заданной в узлах x₀..x_n, необходимо найти в определенном узле производную заданного порядка.

Данная задача относится к классу некорректно поставленных задач, т.к. погрешность поизводной интерполяционного многочлена может существенно превышать погрешность самой интерполяции. Т.о. к данной задаче требуется специальный подход.

Простейшие формулы погрешности

И з теории рядов Тейлора можно получить:

(1)

(2)

Из формулы (1) следует:

.

Из разности формул (1) и (2) получим:

- погрешность второго порядка для симметричной разности.

Сложив формулы (1) и (2):

- аппроксимация среднего значения (для достаточно гладких функций).

. (3)

Общий подход к решению поставленной задачи

Общая задача состоит в том, чтобы найти приближенную формулу:

и ее наилучшие коэффициенты C_k. (4)

Общность подхода в том, чтобы формула (4) была точна для некоторого набора функций. Так, например, формула (3) точна для любого многочлена степени, не превосходящей 4, т.к. для таких многочленов все производные, входящие в погрешность, равны 0.

Алгоритм нахождения формулы состоит в следующем.

Пусть выбраны функции φ₁(x)..φ_n+1(x) (по числу искомых коэффициентов C_k).

должны выполняться следующие равенства:

- СЛАУ (n+1)ого порядка.

Определитель этой системы: .

Заметим, что при x_i<x_i+1 , I =0..n-1, Δ≠0 (а значит система невырождена) тогда и только тогда, когда функции φ₁(x)..φ_n+1(x) линейно независимы.

Погрешность

При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа.

П усть значения функции известны с малой точностью ε. Ответим на вопрос: останется ли в решении исходной задачи хотьо один достоверный знак. Рассмотрим приближенное равенство: . При этом для достаточно гладких функций (погрешность первого порядка).

ρ определяет погрешность метода и неограниченно убывает при h→0. Но есть и неустранимая погрешность, связанная с погрешностью при вычислении функции f(x): . Она неограниченно возрастает при h→0.

Таким образом, полная погрешность не превосходит . А значит, оптимальным будет шаг метода, соответствующий минимуму g(h).

Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность недостихима. Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных.

Глава3. Численное интегрирование

П остановка задачи

З адача состоит в приближенном вычислении интеграла , например, по дискретным значениям функции f(x) в узлах x₁..x_n , по замене функции ее аппроксимацией и т.д.

Т ак - интегральная сумма. Общий вид аппроксимирующих сумм: , где A_k – некоторые коэффициенты.

§1. Интерполяционные квадратурные формулы