Глава4. Алгебраическая проблема собсвенных значений

Постановка задачи

Пусть A=(a_ik) – вещественная матрица порядка n×n пространства Rⁿ. Элементы пространства Rⁿ имеют вид: x=(x₁..x_n)^T.

Скалярное произведение векторов в Rⁿ: .

Норма вектора в пространстве Rⁿ: .

Число λ – собственное число матрицы А, если существует нетривиальный вектор x¹≠0: Ax=λx. При этом x¹ – собственный вектор А. (1)

Множество всех собственных чисел матрицы – её спектр.

Спектральная задача – задача нахождения всех или нескольких собственных чисел матрицы и, возможно, соответствующих им собственных векторов.

Пусть λ₁ – собственное число матрицы А. Перепишем уравнение (1) в виде:

.

Многочлен вида: - характеристический многочлен матрицы А.

Т.о. если λ – собственное число матрицы А, то λ – корень характеристического многочлена матрицы А. Верно и обратное.

Утверждение Любая матрица А порядка n×n имеет хотя бы один собственный вектор и имеет n собственных чисел (могут быть как различными, так и кратными).

Из сказанного: задача нахождения собственных чисел матрицы А сводится к задаче нахождения корней её характеристического многочлена, т.е. решения уравнения P_n(λ) = 0.

Некорректность спектральной задачи

При исследовании спектральной задачи было выяснено, что она неустойчива. Приведем пример. Рассмотрим матрицу порядка 20×20:

, где ε – малое возмущение нулевого элемента.

Характеристический многочлен матрицы А имеет вид: .

Рассмотрим два случая:

1)ε=0 Тогда младший коэффициент P_n(λ) a₀=20!≈2,5×10¹⁸. Собственные числа матрицы А λ_k=1..20.

2) - малое число.

При этом a₀=0 и возникает новое собственное число матрицы А λ=0.

Т.о. как коэффициенты, так и корни характеристического многочлена могут быть очень чувствительны к малым погрешностям матричных элементов, что означает слабую устойчивость спектральной задачи.

§1. Ортогональные матрицы

1.Ортогональные матрицы

Рассмотрим два ортонормированных базиса в пространстве Rⁿ: . Т.е. .

Разложим вектора второго базиса по векторам первого:

Обозначим как U=(u_ik).

Рассмотрим скалярное произведение:

Таким образом, сумма C_ik трактуется как произведение iой строки матрицы U на kый столбец матрицы U^T. C другой стороны, из свойств ортонормированного базиса матрица C=(c_ik)=E.

Отсюда получим: UU^T=E или U^TU=E.

Из выведенных формул следуют равенства:

1) U^-1 = U^T (из определения обратной матрицы)

2) (Ux,Uy) = (x,y) для любых векторов x,y из Rⁿ (т.е. скалярные произведения векторов и их образов относительно U совпадают).

Действительно, (Ux,Uy) = (UU^Tx,y) = (x,y)

3)Отсюда в частности следует: || x || = || Ux ||

Действительно, .

Матрица V, удовлетворяющая любому из этих трех равенств, ортогональная. Она обладает следующими свойствами:

1)переводит ортогональный базис в ортонормиррованный

2)сохраняет углы между векторами, а также их нормы

Представление матрицы-оператора в другом базисе

Из теорем линейных операторов:

1)Всякой матрице А можно сопоставить некоторый линейный оператор

Ω: x→y=Ax

2)Всякий линейный ограниченный оператор в Rⁿ представим в виде матрицы.

Рассмотрим некоторый ортонормированный базис и найдем представление в нем матрицы А.

Пусть x=(x₁..x_n)^T в базисе .

Т.е. .

Рассмотрим оператор Ω: x→y в . Т.е. оператор (β – оператор Ω в новом базисе).

- представление матрицы А в базисе .