Концентрические равномерно заряженные сферы

Воспользуемся предыдущим результатом и принципом суперпозиции. Поле внутри малой и вне большой сферы равно нулю. Поле между сферами определяется по формуле

Такие две проводящие сферы образуют сферический конденсатор. Картина поля, заряженного сферического конденсатора приведена на рисунке.

Поле равномерно заряженного шара Принцип суперпозиции полей

Зная напряженность поля точечного заряда, можно найти напряженность поля любой системы зарядов или протяженного, заряженного тела. Сделать это можно с помощью принципа суперпозиции полей.

Электрическое поле каждого заряда не зависит от существования электрических полей других зарядов. Эти поля, накладываясь (друг на друга), создают результирующее поле, напряженность которого равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности

,

а потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов этих полей. .

Если необходимо найти напряженность и потенциал поля заряженного тела произвольной формы, то это тело нужно разбить на такие малые участки, чтобы каждый участок можно было считать точечным зарядом. Задача сводится к отысканию напряженности и потенциала поля системы точечных зарядов. Практически напряженность и потенциал в этом случае находится с помощью интегрирования по контуру, поверхности или объёму: , .

Некоторые задачи на отыскание напряженности и потенциала поля протяженных, заряженных тел рассмотрим на практических занятиях.

Электрический диполь. Электрический (дипольный) момент

Как пример применения принципа суперпозиции найдем потенциал и напряженность поля диполя — простейшей системы зарядов, состоящей из двух точечных зарядов, одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на расстоянии один от другого.

Величина равная произведению q на называется электрическим (дипольным) моментом . Введя вектор , направленный от отрицательного заряда к положительному запишем выражение для вектора электрического (дипольного) момента

.

Изучение электрических свойств диполя имеет большое значение, так как многие молекулы по своим свойствам подобны диполю. Так, например, в молекуле воды центры тяжести положительных и отрицательных зарядов смещены, и дипольный момент этих молекул оказывается отличным от нуля.

Поле точечного диполя

Диполь называется точечным, если расстояние r от диполя до точек поля значительно больше плеча диполя . Положение точки поля определяется радиус-векторами , и , проведенными от зарядов , и середины диполя. Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно принципу суперпозиции полей потенциал поля в исследуемой точке определяется как . Так как , то, как видно из рисунка (ВС провели перпендикулярно радиус-вектору ), . Произведение можно заменить на , где r — модуль вектора . С учетом этого . — электрический момент диполя, тогда

.

В отличие от потенциала поля точечного заряда, убывающего как , потенциал электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее — как .

Поле диполя обладает осевой симметрией, его потенциал зависит не только от расстояния r, но и от направления к исследуемой точке поля, характеризуемого углом . Картина поля в любой плоскости проходящей через ось диполя одна и та же и вектор лежит в этой плоскости. Для нахождения напряженности поля диполя воспользуемся формулой . Представив потенциал поля в виде , запишем . Используя свойства оператора (доказательство не приводим), получим

,

где — единичный вектор в направлении радиус-вектора , — единичный вектор в направлении вектора электрического момента . Определим модуль вектора , . Так как , и , то

.

Напряженность поля диполя убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния, т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда.