1,2. Уравнения Максвелла для монохроматических колебаний. Комплексные амплитуды полей

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по четырем независимым переменным - х, y,z,t. Для упрощения решения было бы весьма целесообразно исключить одну из этих переменных. Такая операция оказывается действительно возможной, если рассматриваемый электромагнитный процесс является монохроматическим, т. е. изменение полей во времени представляется гармоническими колебаниями с некоторой частотой ω. Помимо того, что этот случай наиболее часто встречается на практике, знание поведения поля на всех частотах позволяет воссоздать любой закон из­менения во времени, воспользовавшись методом инте­грала Фурье.

В наиболее общем случае вектор какого-либо поля, например поля Е, изменяющегося во времени по гармо­ническому закону, в некоторой точке пространства за­писывается в виде

где Е_тх, Е_ту, Етг — амплитуды отдельных составляю­щих поля, φ_х, φу, φ₂ — их фазовые углы. Все перечислен­ные шесть величин являются вещественными.

С течением времени конец вектора Е, представляе­мого формулой которая выше пространстве замк­нутую кривую, причем можно показать, и это в качестве упражнения предоставляется читателю, что данная кри­вая является эллипсом. Положение плоскости эллипса и величина эксцентриситета определяются как ампли­тудами, так и фазами отдельных составляющих.

Запись, эквивалентная высшей формуле имеет

вид

Комплексный вектор вида

принято называть комплексной амплитудой поля Е. Метод комплексных амплитуд давно уже нашел широкое применение в теоретической электротехнике. Однако следует указать на одно весьма важное разли­чие между тем методом комплексных амплитуд, который применяется в теории цепей, и тем, который находит использование в электродинамике. Дело в том, что в электродинамических задачах комплексные амплитуды полей всегда выступают как трехмерные пространственные векторы. Поэтому изображение их на чертежах и виде некоторых вспомогательных векторов, вращаю­щихся на комплексной плоскости, принципиально невоз­можно. Экспоненциальные множители с мнимыми пока­зателями, стоящие при комплексных амплитудах, харак­теризуют исключительно фазовые соотношения между величинами. Например, если заданы комплексные двух полей то это говорит не о том, что эти два поля в пространстве обра­зуют угол 90° (пространственная ориентация полей оди­накова и задается единичным вектором 1х), а лишь о том, что при изменении во времени поле Е₂ опережает поле е1 на величину, равную четверти периода. Мгновенные значения электромагнитных полей опре­деляются через комплексные амплитуды следующим образом:

Комплексные амплитуды могут быть легко введены и уравнения Максвелла. Возьмем первое уравнение Максвелла и подставим в него соответствующие поля, выраженные через их комплексные амплитуды

Изменяя порядок следования дифференциальных операций и операции взятия вещественной части, что всегда допустимо, а затем сокращая на общий множитель

E(в степени jωt ), получаем

Таким образом, переход к комплексным амплитудам полей совершается по тем же правилам, что и в электро­технике,— оператор дифференцирования по времени, действующий на мгновенное значение поля, заменяется на множитель jω Совершенно аналогично преобразуются остальные уравнение Максвелла.

Приводим их к окончательному виду

1.rotH’=jωD’+σE’+j_ст

2.rotE’=-jωB’

3.divD’=ρ’

4.divB’=0

5.D’=ε_aE’

6.B’=μ_aH’