26. Уравнение плоской волны. Связь между е и н волнами

общий вид уравнение Гельмгольца для данной системы

где A₁, A₂— произвольные комплексные, постоянные.

Сравнивая вид решения с формулами A₊=A₀e^-jβz и

A_-=A₀e+ ^jβz убеждаемся, что оно изображает сумму двух волн с одинаковыми постоянными распространения γ, распро­страняющихся в разные стороны вдоль оси z.

Положим для определенности A₂ = 0, тогда

где A₁, A₂— произвольные комплексные, постоянные. Сравнивая вид решения с формулами A₊=A₀e^-jβz и

A_-=A₀e+ ^jβz убеждаемся, что оно изображает сумму двух волн с одинаковыми постоянными распространения γ, распро­страняющихся в разные стороны вдоль оси z.

Положим для определенности A₂ = 0, тогда

Найдем магнитный вектор в данной плоской волне. Для этого воспользуемся вторым уравнением Максвелла

откуда следует

Раскрывая операцию rot, убеждаемся, что

Итак, вектор магнитного поля в данной плоской волне имеет лишь составляющую Н_у и, следовательно, перпендикулярен к вектору электрического поля

Между составляющими электрического и магнитного полей существует пропорциональность:

Вывод состоит в том, что при от­сутствии потерь в среде, т. е. при γ вещественном, поля Eи Н колеблются в фазе. Плоская электромагнитная волна в среде без потерь переносит только активную мощность.

Из теории линий с распределенными параметрами известно, что между напряжением U и током I В бегущей волне существует пропорциональность, причем Z_c = = U/I называется характеристическим (волновым) сопротивлением данной линии. В аналогичной фор­ме можно представить и соотношение

Здесь Z_c— некоторая постоянная, имеющая размерность сопротивления и называемая характерис-тическим (волновым) сопротивлением дайной среды. Из развернутого выражения для γ следует, что

26. Продолжение

т. е. Z_С полностью определяется лишь параметрами среды.

Параметром, очень важным для расчетов, является характеристическое сопротивление вакуума

Z₀=120π

27. Плоские волны с диэлектрическими потерями

Диэлектрик с потерями. Для анализа распространения

где

комплексная постоянная распространения запишется следующим образом

Поскольку γ=β-jα , раскрывая выражение по формуле Эйлера, будем иметь значение фазовой посто­янной

и постоянной затухания

Как уже указывалось, реальные диэлектрики характеризуются весьма малыми углами потерь, порядка 10⁴--10^-3, и силу чего с точностью до величин порядка δ² можно считать

отсюда

Вывод, следующий из формул заклю­чается в том, что при расчете фазовых соотношений в первом приближении можно не учитывать потерь в материале. С другой стороны, коэффициент затухания пло­ских волн в неидеальном диэлектрике прямо пропорцио­нален углу диэлектрических потерь.

29. Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля

Обозначим через B₁ и В₂ векторные поля магнитной индукции в средах 1 и 2 соответственно . Выде­лим в окрестности точки Р цилиндрический объем с ос-

незнаниями ∆S и высотой образующей ∆h, достаточно ма­лый для того, чтобы считать B₁ и В₂ постоянными в пре­делах площадей ∆S . Поток вектора магнитной индукции через суммарную поверхность запишется следующим образом:

+ поток через боковую поверхность.

Приближенное равенство становится точным при стремлении ∆S к нулю.

Если же устремить к нулю высоту цилиндра ∆h, то соответственно бесконечно малым станет поток вектора индукции через боковую поверхность. Следовательно

или

Таким образом, нормальные составляющие вектора маг­нитном индукции на границе раздела двух сред непрерывны. Поскольку В=μ_аН, последнее соотношение может быть записано относительно напряженностей маг. поля:

Отсюда видно, что в общем случае напряженность маг­нитного поля па границе раздела испытывает скачок.

Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля

Методика вывода граничных условий и соответствую­щая иллюстрация остаются здесь совершенно аналогич­ными тем, которые были использованы для маг.поля. Однако если ранее для магнитного поля всегда выполнялось (div В = 0, то в случае электрического поля будем иметь

divD = р. Отсюда возможны два случая.

1)Плотность поверхностных электрических зарядов равна нулю.

Суммарный электрический заряд, заключенный внут­ри малой цилиндрической области, при этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса

Итак, при отсутствии поверхностных электрических за­рядов нормальные составляющие векторов электрическо­го смещения на границе раздела двух сред непрерывны, в то время как нормальные составляющие напряженностей электрического поля в общем случае претерпевают скачок,

2. На границе раздела равномерно распределен по­верхностный электрический заряд с плотностью σ_пов, Кл/м².

В этом случае, очевидно, стремление к нулю высоты цилиндра ∆h не влияет на величину заряда, заключенно­го внутри области. Воспользовавшись законом Гаусса, можно записать формулу:

Из предыдущих выражения следует, что при наличии заряжен­ной границы раздела нормальные составляющие векто­ров электрического смещения испытывают скачок на ве­личину плотности поверхностного заряда в исследуемой точке. Физически это обусловлено тем, что заряд, распо­ложенный на поверхности, создает собственное поле, ори­ентированное таким образом, что по одну сторону от границы раздела это поле складывается с внешним по­лем, а по другую вычитается.