14. Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

В 1831 г. М. Фарадей обнаружил возникновение на­пряжения на концах катушки, помещенной в перемен­ное магнитное поле. Открытие этого явления, получив­шего название электромаг­нитной индукции, позволило Максвеллу сформулировать один из фундаментальных законов теории электромаг­нетизма, связывающий элек­трическое поле с изменени­ем во времени магнитного поля.

Пусть в некоторой обла­сти пространства существу­ет переменное во времени магнитное поле (рис). Положение мгновенной ори­ентации векторов В указано на рисунке стрелками. Рас­смотрим далее произволь­ный замкнутый контур L, направление обхода вдоль которого выбрано против ча­совой стрелки, если смотреть с конца вектора В. В инте­гральной форме закон электромагнитной индукции име­ет следующее математическое выражение:

Циркуляция векторного поля Е по контуру L, стоя­щая в левой части формулы (1.20), носит название электродвижущей силы (э. д. с.) по данному контуру. Если на месте воображаемого контура разме­стить контур, выполненный из проводника, то наличие э. д. с. приведет к протеканию в нем электрического то­ка в направлении вектора Е.

В правой части (1.20) со знаком минус стоит произ­водная по времени от полного магнитного потока, про­низывающего контур.

Воспользовавшись теоремой Стокса и внеся опера­цию дифференцирования по времени под знак поверхностного интеграла, получим

Отсюда непосредственно следует дифференциальная форма закона электромагнитной индукции:

Итак, согласно рассматриваемому закону, изменение во времени магнитного поля приводит к возникновению в пространстве электрического поля.

15.Уравнение Маусвелла в дифференциальной форме

Чаще всего при решении задач электродинамики используют уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Входящие в них операции rot и div выражаются через комбинации первых частных производных от про­екций соответствующих векторных полей (см. приложе­ние). При этом достаточно определить один электриче­ский и один магнитный вектор, так как остальные два вектора могут быть однозначно получены из материаль­ных уравнений поля. Таким образом, уравнения Макс­велла представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка от­носительно шести неизвестных функций (например, Е_х, Е_у, Е_г, Н_х, Ну, Hz).

Решение системы из шести уравнений Максвелла является, вообще говоря, весьма сложной проблемой. Тем не менее, для исследования большого числа практи­чески важных задач оказывается достаточным найти решение при ряде упрощающих предположений. В дан­ной книге будут рассмотрены различные виды таких задач.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

16. В настоящем параграфе со справочными целями приведены все уравнения Максвелла, являющиеся наи­более широким обобщением экспериментальных законов электромагнетизма.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

17. Помещенная в электрическое поле молекула диэлек­трика деформируется таким образом, что может быть представлена в виде совокупности двух разноименных зарядов, +q и -q, отстоящих друг от друга на расстоя­ние l. Такая сумма двух зарядов носит название элек­трического диполя. Очевидно, что величина / тем боль­ше, чем выше напряженность приложенного электриче­ского поля.

Сказанное иллюстрируется упрощенной картиной, изображенной на рис. 1.8. Здесь показана модель про­стейшего атома — атома водорода, содержащего положительно заряженное ядро и единственный электрон, вращающийся вокруг ядра. В отсутствие внешнего элек­трического поля электрон вращается по круговой орбите, так что в среднем центр «эффективного» отрицательного заряда совпадает с центром ядра и атом не проявляет дипольных свойств. После приложения внешнего поля орбита электрона деформируется, центры положитель­ного и отрицательного зарядов перестают совпадать друг с другом в пространстве, и молекула начинает нести себя подобно электрическому диполю. Описанное явление носит название электронной поляриза­ции вещества.