2.2. Решение матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим парную конечную игру с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно и . Цель игрока А - максимизировать величину , а игрока В – минимизировать эту величину.

Матрица, составленная из величин , , ,

называется платежной матрицей. Каждый элемент платежной матрицы , , равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию , а игрок В выбрал стратегию .

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию , то в худшем случае он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение выигрыша , называется максиминой.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминой стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше .

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию , при которой его проигрыш будет минимальным и составит .

Величина - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение проигрыша , называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше .

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство .

Если , т.е. , то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом . Оно называется ценой игры.

Если , то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы , соответствующий паре оптимальных стратегий , называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Пример 3. Найти седловую точку и соответствующую ей ситуацию в платежной матрице, а также цену матричной игры .

Решение. Вводя обозначение , находим:

.

Следовательно, значение нижней цены игры и верхней цены игры совпадают, т.е. цена игры равна . На платежной матрице в данной задаче седловая точка, соответствующая ситуации (3,1), отмечена звездочкой.

Пример 4. Две компании А и В продают два вида лекарств против гриппа. Компания А рекламирует продукцию на радио, телевидении и в газетах. Компания В рекламирует продукцию на радио, телевидении, в газетах и рассылает по почте брошюры. В зависимости о умения и интенсивности проведения рекламной компании, каждая из компаний может привлечь на свою сторону часть клиентов конкурирующей компании. Приведенная матрица характеризует процент клиентов, привлеченных или потерянных компанией А.

Определить оптимальные стратегии для конкурирующих компаний.

Решение.

Обозначим для компания А рекламу продукцию на радио (А₁), телевидении (А₂) и в газетах (А₃). Для компания В рекламу продукцию на радио (В₁), телевидении (В₂), в газетах (В₃) и рассылка по почте брошюр (В₄). Найдем верхнюю и нижнюю цену игры, седловую точку.

Если компания А выберет стратегию А₁, то, независимо от того, что предпринимает компания В, наихудшим результатом является потеря компанией А 3% рынка в пользу компании В. Это определяется минимумом элементов первой строки матрицы платежей. Аналогично при выборе стратегии А₂ наихудшим исходом для компании А является увеличение рынка на 5% за счет компании В. Наихудшем исходом при выборе стратегии А₃ является потеря компанией А 9% рынка в пользу компании В. Эти результаты содержаться в столбце . Чтобы достичь наилучшего результата из наихудших, компания А выбирает стратегию А₂, так как она соответствует наибольшему элементу столбца .

Рассмотрим стратегии компании В. Так как элементы матрицы являются платежами компании А, критерий наилучшего результата из наихудших для компании В соответствует выбору минимаксного значения. В результате приходим к выводу, что выбором компании В является стратегия В₂.

Оптимальным решением в игре является стратегий А₂ и В₂, т.е. обеим компаниям следует проводить рекламу на телевидении. При этом выигрыш будет в пользу компании А, так как ее рынок увеличится на 5%. В этом случае цена игры равна 5% и компании А и В используют стратегии, соответствующие седловой точке (2, 2).

Решение, соответствующее седловой точке, гарантирует, что ни одной компании нет смысла пытаться выбрать другую стратегию. Если компания В переходит к другой стратегии (В₁, В₃ или В₄), то компания А может сохранить свой выбор стратегии А₂, что приведет к большой потере рынка компанией В (6 или 8%). По тем же причинам компании А нет резона использовать другую стратегию, если она примет например, стратегию А₃, то компания В может использовать свою стратегию В₃ и увеличить свой рынок на 9%. Аналогичные выводы имеют место, если компания А будет использовать стратегию А₁.