11. Решение косоугольных сферических треугольников.

12. Решение сферических треугольников при помощи таблиц.

13. Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников.

14. Вероятность и частота, сложение и умножение вероятностей.

15. Распределения случайных величин и их основные характеристики.

16. Классификация измерений и погрешностей.

17. Законы распределения случайных величин.

18. СКП величин подчиненных нормальному закону.

19. Случайные погрешности и их основные характеристики.

20. Методы расчета СКП, оценка точности наблюдений.

21. Систематические погрешности, их возникновение и меры по уменьшению влияния.

22. Погрешности функций измеряемых величин.

23. Математическая статистика, основные понятия.

24. Погрешности неравноточных измерений.

25. Оценка истинного значения измеряемой величины.

26. Вероятнейшее значение погрешности различных измерений и оценка его точности.

27. Доверительные интервалы и надежность.

28. Взаимозависимые погрешности и оценка корреляции между ними.

29. Расчеты коэффициента линейной корреляции и уравнения регрессии.

Типы задач

1. Преобразования угловых (дуговых) величин.

2. Работа с таблицами.

3. Решение косоугольного сферического треугольника.

4. Решение прямоугольного сферического треугольника с оценкой точности расчета одного из элементов.

5. Решение четвертного сферического треугольника с оценкой точности расчета одного из элементов.

6. Расчет СКП равноточных и неравноточных измерений с заданной точностью.

7. Расчет СКП с доверительным интервалом и заданной надёжностью.

8. Расчет коэффициента линейной корреляции и уравнения регрессии параметров.

9. Расчет коэффициента линейной корреляции и уравнения регрессии двух величин.

10. Расчет СКП высоты светила.

11. Расчет СКП навигационного параметра по его функции.

2. Математическая обработка результатов наблюдений

1. Работа с таблицами

Судоводители постоянно решают задачи с большим количеством расчётов для облегчения, которых используют различные вспомогательные таблицы. Поэтому штурман обязан знать принципы построения и приёмы работы с ними.

Как правило, таблица выражает определённую функциональную зависимость и содержит значения функции для ряда аргументов. Эти значения аргументов и соответствующие им значения функций называются табличными. Разность между смежными табличными значениями аргумента называются табличным шагом аргумента. Шаг аргумента выбирается таким образом, что бы изменение функции на этом промежутке, без существенных потерь в точности, можно было считать линейным. Совершенно не обязательно, что шаг аргумента во всей таблице будет постоянным.

Таблицы функций одного аргумента для большей компактности зачастую делают с двойным входом. К примеру, по вертикали (в столбце) идут целые значения аргумента, по горизонтали (в строке)– десятичные доли (возможны и другие варианты).

Таблицы функций двух аргументов имеют два входа – по строкам и столбцам. На пересечении соответствующих столбца и строки, находится табличное значение функции.

При совпадении расчётного аргумента с табличным, выборка значения функции не требует вычислений, в противном случае требуются дополнительные расчёты – интерполяция.

Интерполяцией называют отыскание промежуточных значений величины, по известным её значениям.

Разберём самый простой способ интерполяции – линейную интерполяцию. Пусть аргументу x₀ соответствует значение функции y₀, а ближайшему к x₀ значению x₁ соответствует y₁. Тогда шаг таблицы h = x₁ - x₀ , а разность соответствующих величин функции D = y₁ - y₀. Найдём значение функции y′ соответствующее аргументу x′, если x₀<x′< x₁. Найдём величину Δx = x′ - x₀, тогда , соответственно y′= y₀ + Δy.

Стоит заметить, что величина Δy может быть как положительной, так и отрицательной, что зависит от характера изменения функции при возрастании (убывании) аргумента.

Для примера возьмём фрагмент таблицы 5-а МТ-75(63) (Таблица 1.1).

Таблица 1.1

	D	24^о	sin	D	cosec	tg	D	ctg	sec	D	cos
8,63576	59	0’	9.60931	29	0.39069	9.64858	34	0.35142	0.03927	6	9.96037	60’
63635	60	1’	60960	28	39040	64892	34	35108	03933	5	96067	59’
63695	59	2’	60988	28	39012	64926	34	35074	03938	6	96062	58’
63754	59	3’	61016	29	38984	64960	34	35040	03944	6	96056	57’
63813	59	4’	61045	28	38955	64994	34	35006	03950	5	96050	56’

В таблице приведены значения десятичных логарифмов (или их приращения до десяти) тригонометрических функций от 0^о до 90^о с шагом 1′. При входе сверху и слева значения от 0^о до 45^о, при входе снизу и справа от 45^о до 90^о. В первом случае обозначения функций берут в верхней строке, во втором – в нижней.

Пример 1.1

Найдём значение lg sin для 24^о 2.3′.

1. Открываем таблицы на странице для целого числа градусов, в нашем случае 24^о;

2. В колонке минут, расположенной под значением градусов, находим строку с ближайшим целым значением минут, в нашем случае 2′ ( в случае если число градусов более 45°, вход справа и снизу, а колонка минут расположена над значением градусов в направлении снизу – вверх);

3. На пересечении найденной строки с колонкой необходимой функции, в нашем случае sin, находим значение функции – 9,60988.

4. Вычитаем найденное значение из следующего, т.е. для 3′,

9,61016-9,60988=0,000(28). Значащие цифры этой разности (пропорциональные части) приведены в колонке D. Следовательно, изменению на 0,3′ соответствует величина 0,3∙28=8,4≈(8).

5. Прибавляем к значению для 2′, 9,60988+0,0000(8)=9,60996.

Ответ: lg(sin(24^о02,3′))=9.60996

Обратная интерполяция позволяет по известному значению функции получить значение аргумента. Производится в обратном порядке.

Пример 1.2

Дано: lg( tg(x))=9,64975.

Найти x:

Путём длительных поисков в колонке функции находим её значение ближайшее к заданному 9,64960 и выбираем аргумент этого значения 24^о3′ .

1. Вычитаем из заданного значения найденное

9,64975-9,64960=0,000(15).

2. Делим полученную разность (последние значащие цифры) на пропорциональные части, приведённые в колонке D 15/34≈0,4 (если колонка D в Ваших таблицах почему-то отсутствует, то значение D рассчитываем сами).

3. Результат прибавляем (вычитаем) к аргументу 24^о3′+0,4′=24^о3,4′.

Ответ x=24^о3,4′.

В некоторых случаях, например в таблицах 3-а и 3-б МТ-75, приходится интерполировать две последние значащие цифры аргумента, для этого в правой части листа приводятся таблицы пропорциональных частей.

Для примера возьмём фрагмент таблицы 3-а МТ-75 (Таблица 1 .2).

Таблица 1.2

lga-lgb

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Проп. части

0.50

0.11933

1909

1885

1861

1837

1814

1790

1766

1742

1719

	23	22	21
1	2,3	2,2	2,1
2	4,6	4,4	4,2
3	6,9	6,6	6,3
4	9,2	8,8	8,4
5	11,5	11,0	10,5
6	13,8	13,2	12,6
7	16,1	15,4	14,7
8	18,4	17,6	16,8
9	20,7	19,8	18,9

51

1695

1671

1648

1624

1601

1577

1554

1531

1507

1485

52

1461

1438

1415

1392

1368

1345

1323

1300

1277

1254

53

1231

1209

1186

1163

1140

1118

1095

1073

1050

1028

54

1005

0983

0960

0938

0916

0894

0872

0849

0827

0805

Пример 1.3

Дано: lga=9.98564, lgb=9.34407

Найти: lg(a+b)

1. Рассчитываем Аргумент Гаусса (А.Г.).

А.Г.= lga – lgb = 9.86564 -9.34407 = 0,52157 (всегда из большего вычитаем меньший).

2. В таблице 3-а (Таблица 1 .2)в первой колонке (lga-lgb) находим первые значащие цифры 0,52.

3. В верхней строке находим следующую значащую цифру 1.

4. На пересечении найденных строки и столбца выбираем значение 0,11438 и следующее значение 0,11415.

5. Находим разность 0,11438 - 0,11415=0,000(23).

6. Берём предпоследнюю значащую цифру 5 и входим в таблицу проп. частей (строка 5, колонка 23), выбираем значение 11.5.

7. Последнюю значащую цифру 7 интерполируем в этой же таблице, как десятые предпоследней цифры. Получаем 11.5+1,6=13,1≈(13)

8. Вычитаем из значения для 0,521 (п.4) 0,11438-0,000(13)=0,11425

9. Полученное значение разности логарифмов прибавляем к большему логарифму 9,86564+0,11425=9,97989

Ответ: lg(a+b)=9,97989