7. Определение с заданной надёжностью доверительных оценок измеряемой величины и её скп.

Хотим подчеркнуть, что методика обработки измерений описанная в предыдущих параграфах, не совсем обоснована, т.к. формулы (4.1)-(4.6) выведены в предположении, что число измерений n очень велико. В частности при расчёте предельного значения мы априори брали коэффициент равный 3 и получали вероятность P=0.997, что верно только при n→ ∞. На практике же это число конечно и весьма ограничено. Поэтому возникает важная задача оценки точности величин a_вер, m, m₀ при конечном и ограниченном числе n.

Другими словами требуется установить вероятность P= того, что при заданном конечном числе измерений n неизвестное значение a_ист заключено в границах a_вер – m_0пред до a_вер + m_0пред. Эти границы называют доверительными, а интервал a_вер ± m_0пред доверительным интервалом с заданной надёжностью = P. Таким образом, нам известны n, a_вер и задано m_0пред. Найти: .

Обратная задача формулируется следующим образом: каким при заданном числе измерений n должен быть доверительный интервал, для того, чтобы с заданной надёжностью  можно было утверждать, что неизвестная величина a_ист не выйдет за границы доверительного интервала:

a_вер – m_0пред < a_ист < a_вер + m_0пред

То есть, нам известны n, a_вер и задано . Найти: m_0пред

Решение этой задачи в обоих постановках достигается при помощи распределения Стьюдента. Оно учитывает ограниченность числа измерений n и при условии n→ ∞ переходит в нормальное распределение. На его основе составлена Таблица 7.1. связывающая число наблюдений n, надёжность  и коэффициент , выносимый в формулу (4.8). В этом случае формула (4.8) приобретает вид:m_0пред = t m₀ ( 7.0)

Таблица 7.11. Значения коэффициента t по заданным n и.

 n	0.5	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
3	0.82	1.39	1.89	2.92	4.30	9.92	31.60
4	0.76	1.25	1.64	2.35	3.18	5.84	12.92
5	0.74	1.19	1.53	2.13	2.78	4.60	8.61
6	0.73	1.16	1.48	2.02	2.57	4.03	6.87
7	0.72	1.13	1.44	1.94	2.45	3.71	5.96
8	0.71	1.12	1.41	1.89	2.36	3.50	5.41
9	0.71	1.11	1.40	1.86	2.31	3.36	5.04
10	0.70	1.10	1.38	1.83	2.26	3.25	4.78
12	0.70	1.09	1.36	1.80	2.20	3.11	4.44
14	0.69	1.08	1.35	1.77	2.16	3.01	4.22
16	0.69	1.07	1.34	1.75	2.13	2.95	4.07
20	0.69	1.07	1.33	1.73	2.09	2.86	3.88
60	0.68	1.05	1.30	1.67	2.00	2.66	3.46
120	0.68	1.04	1.29	1.66	1.98	2.62	3.37
∞	0.67	1.04	1.28	1.64	1.96	2.58	3.29

Примерно также решается вопрос и об оценке точности определения СКП единичного измерения, если число измерений конечно и ограничено.

На основе распределения Пирсона с заданной надёжностью  утверждается, что истинное значение СКП единичного измерения m_ист отличается от вычисленного не более чем на величину .

На основе этого распределения составлена Таблица 7 .12, связывающая число наблюдений n, надёжность  и коэффициент . То есть выбрав из таблицы 7.2 коэффициент  и рассчитав величину =∙m c надёжностью  можно утверждать, что m –  < m_ист< m +.

Или наоборот, зная величину  можно определить надёжность .

Таблица 7.12. Значения коэффициента  по заданным n и .

 n	0.5	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
5	0.25	0.40	0.56	0.95	1.37	2.67	5.64
6	0.22	0.35	0.48	0.79	1.09	2.01	3.88
7	0.20	0.32	0.41	0.65	0.92	1.62	2.98
8	0.18	0.29	0.38	0.58	0.80	1.38	2.42
9	0.17	0.27	0.35	0.52	0.71	1.20	2.06
10	0.16	0.25	0.33	0.49	0.65	1.08	1.80
12	0.15	0.23	0.30	0.43	0.55	0.90	1.45
14	0.14	0.21	0.28	0.38	0.48	0.78	1.23
16	0.13	0.19	0.26	0.35	0.44	0.70	1.07
18	0.12	0.18	0.24	0.32	0.40	0.63	0.96
20	0.11	0.17	0.22	0.29	0.37	0.58	0.88
100	0.05	0.07	0.09	0.12	0.14	0.20	0.27

Пример 7.12

В широте  = 36.5°N судно следует ИК = 114° со скоростью V = 16 уз. Измерена серия 7 высот светила, азимут которого А=60,7° SO^st.

Моменты наблюдения T_i и отсчёты секстана ОС_i приведены в таблице.

Таблица 7.13

Ti	10^ч57^м13^с	10 57 58	10 58 48	10 59 35	11 00 27	11 01 10	11 02 02
ОСi	29°46,7′	55.5′	30°04,8′	12,0′	20,8′	29,0′	39,5′

Задание:

1. привести ОС_i к одному зениту и моменту времени.

Рассчитать:

2. вероятнейшее значение высоты светила;

3. СКП единичного измерения двумя способами;

4. предельную погрешность единичного измерения;

5. доверительный интервал накрывающий истинное значение СКП единичного значения с надёжностью (вероятностью) 0,90.

6. надёжность  определения СКП для доверительного интервала в 0,5 единицу измеряемого параметра (±0,5′)

7. СКП вероятнейшего значения;

8. предельную погрешность вероятнейшего значения измеренной величины и доверительный интервал накрывающий истинное значение измеряемой величины с надежностью (вероятностью) 0,95.

9. надёжность  для доверительного интервала в одну единицу измеряемого параметра (±1′).

Решение:

1. Составляем расчётную таблицу (Таблица 7 .14), в первую колонку вносим моменты наблюдений, в пятую отсчёты секстанов.

Таблица 7.14

1			2		3	4	5		6		7	8
Ti			Ti		Ti	hT+hz	OСi		OCпр		vi	vi^2
10^ч	57^м	13^с	2^м	22^с	2.37^м	25.5′	29°	46.7′	30°	12.2′	-0.2	0.04
10	57	58	1	37	1.62	17.4	29	55.5	30	12.9	0.5	0.25
10	58	48	0	47	0.78	8.4	30	4.8	30	13.2	0.8	0.64
10	59	35	0	0	0.00	0.0	30	12.0	30	12.0	-0.4	0.16
11	0	27	0	-52	-0.87	-9.3	30	20.8	30	11.5	-0.9	0.81
11	1	10	-1	-35	-1.58	-17.1	30	29.0	30	11.9	-0.5	0.25
11	2	2	-2	-27	-2.45	-26.4	30	39.5	30	13.1	0.7	0.49
									ОС=30°12.4′		0.0	v^22.64

• Выбираем момент времени T₀ к которому будем приводить все измерения серии, чаще всего это или средний, или последний момент. Возьмём средний момент времени, в нашем случае четвёртый, т.е. T₀ = T₄.

• Рассчитываем промежутки времени T_i между T₀ и текущим моментом T_i, T_i = T₀ – T_i и вносим результаты во вторую колонку. В третью колонку внесём те же промежуткиT_i, но секунды выразим в десятых долях минуты.

• Рассчитаем поправки для приведения высоты светила к одному моменту и к одному зениту:

из таблицы 17 МТ-75 по широте  и азимуту на светило А

h_T¹⁰ = +1,75′; h_T¹ = 6*1,75′=10,50′.

Из таблицы 16 МТ-75(63) по скорости V = 16 уз и КУ=119,3°– 114° =5,3°

h_z¹ = +0,27.

Рассчитываем совместную поправку за 1 минуту:

h¹ = h_z¹+h_T¹=10,77

• Рассчитываем произведения h_i=T_i h¹, результаты вносим в четвёртую колонку.

• В шестой колонке рассчитываем приведенные отсчёты секстана

ОС_{пр i}=h_i+OC_i

2. Находим вероятнейшее значение ОС на T₀ (четвёртый момент времени) – внизу колонки среднее арифметическое от ОС_{пр I}.

3. Рассчитываем СКП:

(методом внутренней сходимости)

В последние две колонки вносим уклонения v_i и квадраты уклонений v_i² соответственно. Внизу колонок находим сумму уклонений и сумму квадратов уклонений.

(методом размаха)

ОС_max =30°13.2′

ОС_min =30°11.5′

R = 1.7′

k_n = 0.370

m = k_nR = ±0.63′

4. Предельная погрешность единичного измерения m_пред = 3m = 2.0′

5. Находим доверительный интервал единичного измерения,

   • по известному количеству наблюдений n = 7 и заданному в условии  = 0,90 из Таблица 7 .12 находим значение коэффициента  = 0,65.

   • Рассчитываем=  ∙m = 0.65∙0.66′ = 0.44′

   • Находим m-=0,22 и m+=1,1 следовательно 0,22≤ m_ист≤1.1.

6. Рассчитываем надёжность  для заданного доверительного интервала m в примере= ′.

   • находим /m=0.75

   • обратным входом в Таблица 7 .12 по n=7 измерениям и по известному =0.75 получаем надёжность  > 0.9.

7. Рассчитываем СКП вероятнейшего значения:

8. Находим предельную погрешность вероятнейшего значения и доверительный интервал:

   • по известному количеству наблюдений n = 7 и заданному в условии  = 0,95 из Таблицы 7.1 находим значение коэффициента t = 2.45.

   • m_0пред=tm₀=2,45∙0.25′ 0.6′ следовательно 30°11,8′≤ ОС_ист≤30°13,0′.

9. Рассчитываем надёжность  для заданного m_0пред=1′

   • рассчитываем t= m_0пред/m₀=4

   • для чего, обратным входом в Таблицу 7.1 по n=7 измерениям и по найденному t получаем надёжность  >0.99