2. Решение косоугольных сферических треугольников

При решении косоугольных сферических треугольников возникает 6 типовых случаев (Таблица 3 .3). В задачах типов 3, 4, 5 и 6 сочетание заданных и определяемых элементов следует понимать, как один из возможных случаев. Задачи типов 5 и 6 помимо формул указанных в таблице можно использовать системы формул 3.6, 3.7.

Таблица 3.3

Тип задачи	Дано	Искомые элементы	Формулы для определения искомых элементов
1	Три стороны a, b, c	Углы A, B, C	Косинуса стороны (3.1)
2	Три угла A, B, C	Стороны a, b, c	Косинуса угла (3.2)
3	Две стороны и угол между ними, например a, b, C	Углы A, B Сторона c	Котангенсов (3.3) Косинуса стороны (3.1)
4	Два угла и сторона между ними, например A, B, c	Стороны a, b Угол C	Котангенсов (3.3) Косинуса угла (3.2)
5	Две стороны и противолежащий одной из них угол, например a, b, A	Угол B Угол C Сторона c	Синусов (3.4) Аналогии Непера (3.5) Синусов (3.4) Системы формул 3.6, 3,7
6	Два угла и противолежащая одному из них сторона, например A, B, a	Сторона b Угол C или сторона с Сторона с или угол С	Синусов (3.4) Аналогии Непера (3.5) Синусов (3.4) или Аналогии Непера (3.5) Системы формул 3.6, 3,7

При решении сферических треугольников следует применять следующий алгоритм:

1. выполнить схематический чертёж треугольника и пометить данные и искомые элементы;

2. подобрать необходимые формулы связывающие три данных и каждый из искомых элементов;

3. упростить формулы и отделить тригонометрическую функцию неизвестной величины;

4. исследовать полученные формулы на знаки (в связи с важностью этого пункта подробнее поговорим об анализе на знаки позже);

5. составить схему вычислений;

6. произвести вычисления с необходимой точностью;

7. произвести контроль вычислений (в качестве контрольной формулы обычно берётся теорема синусов).

Рассмотрим подробнее анализ формулы на знаки. У сферических треугольников как заданные, так и искомые элементы могут находиться как в первой (от 0° до 90°), так и во второй четвертях (от 90° до 180°). Так как в таблицах даются значения логарифмов тригонометрических функций только от 0° до 90°, то для расчётов углов второй четверти следует брать их дополнения до 180° (180°-) и при необходимости менять знак функции на противоположный. Функции cos, sec, tg и ctg во второй четверти отрицательны, sin и cosec – положительны. В первой четверти все функции положительны.

В расчётной формуле над каждой функцией ставится её знак («+» или «–»). Слагаемые правой части обозначаются римскими цифрами I и II. Тогда учитывая знаки функций и знаки самой формулы смотрим, какие знаки будут иметь слагаемые (например +I и –II), а так же после того как будут известны значения слагаемых, смотрим какой знак будет иметь их сумма (разность). Всё это необходимо знать для того что бы:

во-первых: пользоваться ли таблицей логарифмов сумм  (таблица 3-а МТ-75), или таблицей логарифмов разностей  (таблица 3-б МТ-75);

во-вторых: что бы определить в какой четверти будет находиться искомый аргумент.

Возможные случаи знаков слагаемых сведены в таблицу (Таблица 3 .4).

Напомним, что всё вышесказанное относительно анализа формулы на знаки относится только к формулам косинусов и котангенсов и второй пункт не относится даже к ним, если аргумент рассчитывается через функцию sin.

Таблица 3.4

Знаки и соотношения абсолютных значений слагаемых		lg сумм или разностей	Табличный результат
+I, +II			Первая четверть	
–I, –II			Вторая четверть	180-
+I, –II	| I | > | II |		Первая четверть	
	| I | < | II |		Вторая четверть	180-
–I, +II	| I | > | II |		Вторая четверть	180-
	| I | < | II |		Первая четверть	

П ример 3.7

Дано: а=134°18,5′; b=44°58.5′ C=99°07.8′

Найти: A, B, c.

1. Выполняем схематический чертёж и помечаем данные и искомые элементы.

2. Подбираем необходимые формулы.

A, B – формула котангенсов;

c – формула косинуса стороны;

1. ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C

2. ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

3. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

3. Преобразовываем формулы и производим анализ формулы на знаки

– + + + –

1. ctg A = ctg a sin b cosec C– cos b ctg C

–I +II

а>90° ctg a (–), b<90° sin b и cos b (+), C>90° cosec C (+) и ctg C (–).

Обратимся к таблице 3.2. Так как знаки слагаемых разноименные, будем использовать логарифмы разностей , установить в какой четверти будет результат нельзя, пока не станут известны значения слагаемых.

+ + + – –

2. ctg B = ctg b sin a cosec C – cos a ctg C

+I –II

а>90° sin a (+) cos a (–), b<90° ctg b(+), C>90° cosec C (+) ctg C (–).

Так как знаки слагаемых разноименные, будем использовать логарифмы разностей , установить в какой четверти будет результат нельзя, пока не станут известны значения слагаемых.

– + + + –

3. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

– I –II

а>90° cos a (–), sin a (+), b<90° cos b(+) sin b (+), C>90° cos C (–).

Знаки слагаемых одноимённы, будем использовать логарифмы сумм , оба слагаемых отрицательны результат будет во второй четверти.

4. Составляем схему вычислений (Таблица 3.3) и производим вычисления с использованием таблиц 5-а, 3-а и 3-б МТ-75(63). Подробности использования таблиц приведены в пояснениях к таблицам. Что бы не менять наименования функций для аргументов больших 90° при входе в таблицу берём их дополнения до 180°. Аргумент для выборки  или  (Аргумент Гаусса – А.Г.) подписываем под меньшим слагаемым, а величины  или  под большим.

Таблица 3.5

lg

lg

lg

lg

lg

lg

a=134°18.5′ b=44°58.5′ C=99°07.8′

ctg sin cosec

9.98951 9.84929 0.00554

cos ctg

9.84967 9.20605

sin ctg cosec

9.85466 0.00038 0.00554

cos ctg

9.84417 9.20605

cos cos

9.84417 9.84967

sin sin cos

9.85466 9.84929 9.20051

-I 

9.84434 9.92288

+II А.Г.

9.05572 0.78862

+I 

9.86058 9.92699

-II А.Г.

9.05022 0.81036

-I 

9.69384 0,06536

-II А.Г.

8.90446 0,78938

ctg(180°-A) 180°-A

9.76722 59°40.1′

ctg B B

9.78757 58°29.1′

cos(180°-c) 180°-c

9,75920 54°56.5

A=120°19.9′

B=58°29.1′

c=125°03.5′

5. Производим контроль вычислений по теореме синусов.

или sin a cosec A= sin b cosec B= sin c cosec C

Проверку можно производить как на калькуляторе, так и при помощи таблиц логарифмов.

Пример проверки при помощи таблиц логарифмов приведен в таблице

Таблица 3.6

	lg			lg			lg
A=120°19.9′ a=134°18.5′	sin cosec	9.93606 0.14534	B=58°29.1′ b=44°58.5	sin cosec	9.93070 0.15070	C=99°07.8′ c=125°03.5′	sin cosec	9.99446 0.08694
	Σ1	0.08140		Σ2	0.08140		Σ3	0.08140