Определение степени сложности и организации системы

Процедура определения может играть решающую роль в выборе класса модели.

Степень сложности системы (Н_m) определяется следующим образом:

Н_m = log n,

где n - количество состояний, которые принимает система.

Если выходные параметры системы непрерывные, то необходимо осуществить их дискретизацию с шагом ∆y. В таком случае:

;

где y_max и y_min − граничные значения выходного параметра y.

Шаг дискретизации выбирается исходя, в основном, из точности анализа параметра У.

Организация системы(R):R= 1 - Н/ Н_m, где: Н – оценка энт­ропии системы, Н_m– степень сложности системы.

Энтропия (неопределенность) зависит от вероятности Р_i пребы­вания системы в любом из n возможных состояний:

Чем беспорядочнее система, т.е. чем больше Н, тем в большей степени ее будущее зависит от случайности. Максимальная энтропия (неопределенность) достигается при равных вероятностях Р_i. В та­ком случае Н = Н_m и в результате организация системы (R) равна нулю.

По степени сложности и организации системы можно классифици­ровать следующим образом:

• по сложности: простые (О < Н_m <3), сложные (3 < Н_m <6), очень сложные (6 < Н_m);

• по организации: детерминированные (0,3 < R < 1), квазиде-терминированные (0,1 < R < 0,3), вероятностные (0 < R < 0,1).

По сравнению с детерминированными системами, в вероятностных системах смена состояний в значительно большей степени определя­ется случайными факторами.

Рассмотрим некоторые примеры классификации биологических систем.

Детер­минированные системы управляют внутренними органами (подсистемы, управляющие функционированием сердечно-сосудистой системы, реак­цией зрачка на свет, регуляцией температуры тела и т.п.).

Вероятностные системы определяют взаимодействие анализаторов и поведенческих реакций, включая процесс обучения при простых рефлекторных актах. Реакция человека на один и тот же стимул мо­жет быть различна. Она зависит от многих факторов, которыми исс­ледователь не может управлять.

Квазидетерминированные системы также могут управлять внут­ренними органами, но при условии, что ведущую роль играет цент­ральная нервная система. К таким системам можно отнести и некото­рые патологические процессы.

Пример оценки организации и сложности системы: исследуется реакция объекта на импульсное электрическое раздражение. Система принимает два состояния: есть ответ, нет ответа. Опыты проводи­лись в условиях нормы и патологии исследуемого объекта.

Норма: P₁ = Р₂ = 0,5.; Н_m = log 2 = 0,3; Н = 0,3.

Организация системы: R = 1-0,3/0,3 = 0. Систему можно от­нести к классу простых вероятностных систем.

Патология: P₁ = 0,1; Р₂ = 0,9; Н_m = log 2 = 0,3;

Н = -0,1 log (0,1) - 0,9 log (0,9)  0,14.

Организация системы: R = 1 - 0,14/0,3 = 0,54. Систему можно отнести к классу простых детерминированных систем.

При воздействии на систему фактора с различными уровнями воздействия или комбинаций нескольких факторов вычисляется сред­нее арифметическое оценок организации по всем воздействиям:

,

где R – среднее арифметическое оценок организации системы; N – количество различных вариантов воздействий.

Пример: исследуется изменение частоты сердечных сокращений под влиянием физической нагрузки. Q – величина нагрузки: Q_max, Q_ср, Q_min. Весь диапазон изменения пульса был разделен на три поддиапазона: 0…50; 60…100; 110…150 уд. /мин. В результате под влиянием нагрузки система может находиться в одном из трех состояний в соответствии с выделенными поддиапазонами. Оказалось, что вероятность перехода системы в каждое из этих состояний раз­лична и зависит от величины нагрузки.

Для Q_min: P₁ = 0,8; P₂ = 0,19; P₃ = 0,01.

R = 1 – H / H_m; H_m = log 3 = 1,098; R = 1 – 0,23 / 1,098 = 0,79

Для Q_ср: P₁ = 0,2; P₂ = 0,6; P₃ = 0,2.

H = – 0,2 log (0,2) – 0,6 log (0,6) – 0,2 log (0,2) = 0,41

R = 1 – 0,41 / 1,098 = 0,63

Для Q_max.: P₁ = 0,01; P₂ = 0,09; P₃ = 0,9

H = – 0,01 log (0,01) – 0,09 log (0,09) – 0,9 log (0,9) = 0,15

R= 1 – 0,15 / 1,098 = 0,86

В итоге: R = (0,79 + 0,63 + 0,86) / 3 = 0,76.

Систему можно отнести к классу простых детерминированных систем.

Рассмотренный подход к оценке степени сложности и организа­ции применим лишь для статических систем, состояния которых не зависят от фактора времени. Если система последовательно перехо­дит из одного состояния в другое в пределах заданного множества состояний, то оценку ее организации необходимо проводить поэтап­но. Причем каждый этап соответствует определенному уровню оценки.

На первом уровне оценивается вероятность появления каждого единичного состояния на протяжении интервала анализа независимо от динамики других состояний. Начинал со второго уровня, оценива­ются вероятности появления комбинаций состояний по два (второй уровень), по три (третий уровень) и так до объединения в одну группу всех К состояний.

Количество состояний (n) на каждом i-м уровне определяется как количество сочетаний из К по L:

,

где L - количество состояний, объединяемых в комбинацию; К - об­щее количество одиночных состояний.

Сложность , энтропияH_i и организация R_i на i-м уровне оценки определяются, как было показано для статического случая:

.

Затем строится зависимость R от уровня оценки. При этом ве­личина R увеличивается по мере возрастания уровня. В конечном итоге анализируется вся кривая.

Пример: необходимо оценить организацию процесса, представ­ляющего собой смену четырех состояний в приведенной последова­тельности: 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4 …

Первый уровень оценки: n₁ = 4; P₁ = P₂ = P₃ = P₄ = 0,25;

R₁ = 1 – 0,6 / 0,6 =0

Второй уровень оценки: .

Примем теоретически возможное сочетание состояний:

P_1,2 = P_2,3 = P_3,4 = 0,33332; P_1,3 = P_1,4 = P_2,4 = 0,00001;

Третий уровень оценки: .

Примем теоретически возможное сочетание состояний:

P_1,2,3 = P_2,3,4 = 0,44449; P_1,2,4 = P_1,3,4 = 0,00001;

Четвертый уровень оценки: n₄ = 1 (сочетание всех состояний);

P_{1, 2, 3, 4} = 1; R₄ = 1

График зависимости R от уровня оценки показан на рис. 1.3.

Таким образом, по частотам появления единичных состояний (первый уровень оценки) система является случайной, а по сочета­ниям состояний – детерминированной (R > 0,3). В итоге, на первом уровне оценки систему можно назвать статически случайной. Динами­чески же она детерминирована.

Выбор класса модели.

Выбор класса модели в значительной степени зависит от уровня организации и сложности объекта исследования. Это касается, в первую очередь, классификации моделей по следующим признакам: "детерминированные –стохастические" и "линейные – нелинейные".

На рис.1.4 в виде сетки представлена классификация моделей в зависимости от оценки ее организации (R) и сложности (Н_m).

В соответствии с представленной сеткой модели классифициру­ются следующим образом:

11. – простые детерминированные линейные модели;

12. – квазидетерминированные простые линейные модели;

13. – простые вероятностные модели;

21. – сложные детерминированные, линейные и нелинейные моде­ли;

22. – сложные нелинейные квазидетерминированные модели;

23. – сложные вероятностные модели;

31. – очень сложные детерминированные,

32. – квазидетерминированные и вероятностные модели.

С помощью построенной сетки в определенной степени можно систематизировать выбор математического аппарата моделирова­ния. Так, для наиболее распространенных классов простых и сложных детерминированных моделей (11 и 21) адекватен следующий матема­тический аппарат.

Алгебраические уравнения. Они применяются для аппроксимации результатов экспериментов.

Методы дифференциальных и интегральных уравнений. Предусматривают построение математических моделей динамики систем. Дости­гается более глубокая содержательность, чем при использовании ал­гебраических моделей.

Методы теории управления и оптимизации. Позволяют анализиро­вать биосистемы, разделяя их на объекты управления и управляющие подсистемы, и решать прикладные задачи управления биосистемами, оптимизируя их функции.

Теория конечных автоматов. Адекватна для моделирования дина­мики четко выраженных детерминированных систем с дискретными сос­тояниями.

Булева алгебра. Применяется для статических моделей.

Для простых и сложных квазидетермированных моделей (12 и 22) можно воспользоваться нелинейными алгебраическими и дифференци­альными уравнениями, а также уравнениями, коэффициенты которых подчиняются некоторым законам распределения.

Для простых и сложных вероятностных моделей (13 и 23) адек­ватны методы теории вероятности, теория случайных процессов, ал­гебраические и дифференциальные уравнения для описания вероятнос­тей и законов распределения, метод Монте-Карло с использованием генераторов случайных чисел, марковские цепи и теория распознава­ния образов.