- •Глава 1. Основные понятия и задачи моделирования.
- •Определение степени сложности и организации системы
- •Глава 2. Экспериментально-статистическое моделирование
- •Расчет коэффициентов полиномиальных моделей.
- •Статистическая оценка коэффициентов модели
- •Глава 3. Методы статистического анализа эксперимента.
- •82 49 18 48 09 50 17 10 37 51
- •Проверка однородности результатов измерений
- •Квантили распределения Колмогорова
- •Глава 4. Теоретическое моделирование.
- •Если t 0, то:
- •Пример.
- •Глава 5. Нечеткая информация и нечеткие выводы.
- •Нечеткие выводы.
- •Нечеткое продукционное правило Если высокий то открыть
- •Данные наблюдения
- •Установление функции принадлежности для вывода
- •(Знание) Если xестьA, тоyестьB
- •Глава 6. Обработка медико-биологических данных
- •Задача медицинской диагностики как задача распознавания образов
- •Обладает исследователь в предметной области (медик).
- •Отображение структуры данных в память эвм
- •Литература
Глава 2. Экспериментально-статистическое моделирование
Задача статистического исследования обычно сводится к построению математической модели изучаемого объекта – уравнения, связывающего параметры оптимизации с факторами:
Возможны 2 пути получения экспериментального материала: в результате проведения активногоилипассивного эксперимента.
Пассивный эксперимент– это такая организация проведения экспериментов, при которой величины воздействующих факторов и диапазоны их варьирования выбираются бессистемно, субъективно, иногда случайно.
Активный эксперимент– это такая оптимизация проведения экспериментов, при которой опыты ставятся по плану в соответствии с выбранной стратегией.
Методология математического планирования эксперимента дает в распоряжение исследователя оптимальную стратегию проведения многофакторного, активного эксперимента.
При этом преследуются следующие цели: минимизация числа опытов, оптимальное использование факторного пространства, достижение заданных свойств математической модели.
Факторное пространство– это многомерное пространство, по координатным осям которого отложены значения воздействующих факторов. Каждое измерение или опыт можно представить точкой в этом пространстве (см. рис. 2.1).
Математическое планирование эксперимента – это методология, обеспечивающая экспериментально – статистическое исследование поведения объектов в условиях многофакторного воздействия на них.
При этом ставятся следующие задачи:
оптимизация многофакторного эксперимента (т.е., процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью);
построение полиномиальных моделей с заданными свойствами;
принятие решений по результатам моделирования.
Рис. 2.1. Факторное пространство при
активном и пассивном экспериментах.
Существует огромное количество задач, связанных с использованием и оценкой влияния факторов среды на биологический объект и, в первую очередь, на человека. Однако сложность решения этих задач состоит в том, что воздействие окружающей среды, как правило, определяется комбинацией различных факторов. Факторами называются параметры, воздействующие на изучаемый объект. При этом существенную роль играют эффекты взаимодействия этих факторов, значительно усложняющие общую оценку их влияния. Рассмотрим два примера из области медицины и экологии. Влияние лечебного препарата на пациента определяется комбинированным влиянием многих факторов, среди которых можно выделить следующие: доза, лекарственная форма, кратность применения, длительность введения, состояние больного. Кроме того, обычно используется комплексная терапия, что существенно увеличивает количество воздействующих факторов. При этом возможны эффекты взаимодействия между воздействующими факторами, которые могут взаимно усиливать или тормозить действие друг друга. Таким образом, при исследовании эффективности и оптимизации терапевтического воздействия необходимо одновременно учитывать сложное комбинированное влияние многих факторов.
Другой пример: состояние человека зависит от содержания различных веществ в атмосфере, почве и воде, оказывающих на него комбинированное воздействие. Известные данные о влияние каждого из веществ не учитывают эффекты их комбинированного воздействия.
В результате весьма важной является проблема разработки и использования методов, позволяющих исследовать комбинированное влияние воздействующих факторов на объект исследования.
Одним из наиболее перспективных путей решения этой проблемы является применение экспериментально – статистических методов, среди которых особое место занимает методология МПЭ (математическое планирование эксперимента).
Эта методология позволяет, во-первых, оптимальным образом поставить эксперимент и во-вторых, количественно описать реакцию исследуемого объекта на комбинированное воздействие факторов.
Влияние среды на организм человека определяется комбинированным действием многих факторов. В то же время организм отвечает реакцией по множеству параметров. В связи с этим объект исследования можно представить как сложную систему, объединяющую, совокупность входных и выходныхпараметров, как схематически показано на рис.2.2.
Такое представление системы, при котором ее внутренняя структура неизвестна, а определены лишь параметры входа и выхода, соответствует понятию "черный ящик".
Входные параметры (x1,x2, …,xk), воздействующие на объект исследования, называются факторами. Существует большое разнообразие факторов, как по физической природе, так и по их характеристикам. Для целей моделирования факторы среды можно условно разделить на три группы. К первой группе относятся вредные факторы. Например, в экологии такими факторами являются концентрации веществ, загрязняющих атмосферу, воду и почву. В биологии и медицине к вредным факторам можно отнести патогенные воздействия на организм, например, влияние дозы возбудителя инфекции, облучения, отравления и т.п. В эргономике вредные факторы определяют ухудшение работы оператора, например, шум, вибрация и климатические явления. Во вторую группу входят защитные факторы, обеспечивающие компенсацию или защиту от влияния вредных факторов. Например, в медицине такими факторами являются доза и кратность применения лекарственного препарата или физиотерапевтического воздействия. В экологии к ним относятся конструктивные характеристики технических защитных средств против выбросов в окружающую среду вредных для здоровья промышленных отходов. Третья группа факторов характеризует «фоновую» нагрузку на организм, включая сюда и климатическое влияние, например, атмосферное давление, влажность, время года и суток и т.п. Кроме того, в эту группу факторов можно включить и параметры исходного состояния организма.
Воздействующие факторы бывают управляемые и неуправляемые, а также учтенные и неучтенные, качественные и количественные. Управляемые факторы можно устанавливать и поддерживать в течение необходимого времени на выбранном уровне или менять их величины по заданной программе. Например, доза лечебного препарата является управляемым учтенным фактором, а концентрация вредного вещества в атмосфере – неуправляемым учтенным фактором. Параметры исходного состояния пациента – учтенные неуправляемые факторы. Изменения солнечной активности и атмосферного давления могут рассматриваться как неучтенные и неуправляемые воздействия на пациентов в клинике. Все эти особенности воздействующих факторов играют существенную роль в выборе аппарата моделирования и оценке реакции организма.
Количественные факторы – это факторы, которые можно оценивать количественно в соответствии с заданной числовой шкалой.
Требования к факторам, предлагаемые методологией МПЭ:
управляемость фактора, т.е. возможность в течение опыта устанавливать величину фактора и поддерживать ее на выбранном уровне или менять по заданной исследователем программе;
независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимостей от уровней других факторов;
совместимость факторов, т.е. необходимость возможности и безопасности их комбинаций.
Что же касается неуправляемых и неучтенных факторов, то основная задача состоит в исключении их влияния. С этой целью используются специальные приемы рандомизации, сводящиеся к случайной очередности проведения опытов в плане эксперимента. Используется также разбиение многофакторного эксперимента на блоки.
Выходные параметры (y1,y2, …,ym), характеризующие результат воздействия факторов на «черный ящик», называются откликами, целевыми функциями или параметрами оптимизации. Отклики для удобства моделирования целесообразно разделить на 2 группы.
К первой группе условно можно отнести отклики, дающие интегральные оценки жизнедеятельности объекта, например, характеризующие работоспособность, длительность ее сохранения, общую оценку состояния организма и т.п.
Вторая группа откликов характеризует состояние организма как биологического объекта, Сюда относятся физиологические, биохимические и морфологические показатели, полученные к моменту времени t1,t2, …,tq.
Можно выделить еще третью группу, куда бы вошли временные характеристики развития реакции и показатели эффективности применения защитных средств. Однако эти отклики можно условно отнести либо к первой, либо ко второй группе в зависимости от их роли в планировании организационных мероприятий или в оценке развития реакции.
В технических, технологических, биотехнических объектах выходные параметры связаны с эффективностью работы системы. В таких случаях выбирается основной параметр (целевая функция), которая является основной оценкой эффективности работы системы. А остальные параметры должны удовлетворять определенным требованиям. При исследовании математических моделей выходные параметры отражают свойства моделируемой системы.
Математическая модель, построенная на основе проведения активного, спланированного эксперимента становится средством или "инструментом" для исследования изучаемой системы. В случае же пассивного эксперимента, такая модель обычно просто аппроксимирует экспериментальные данные. Она может и прогнозировать реакцию системы, но при условии проведения большого количества опытов по сравнению с активным экспериментом, поэтому использовать такую модель, как средство для исследования и оптимизации влияния воздействующих факторов нерационально, т.к. она может дать значительную ошибку.
Постановка задачи и определение системы.
Существует 3 уровня объектов: клеточный (культура тканей, питательная среда для микробов и клеток), органный или организменный (животные, люди), популяционный – коллективы. При этом можно выделить 4 группы задач, в зависимости от объектов исследования:
Исследование и оптимизация комбинированного или комплексного влияния внешних факторов на биообъект: испытание биопрепаратов, оптимизация работы оператора, исследование и оптимизация жизнедеятельности человека в различных условиях, оптимизация режимов сохранения питательной среды, оптимизация лечения человека, оптимизация физиотерапевтического воздействия.
Оптимизация обще технологических процессов.
Структурно – функциональная оптимизация устройств медицинской техники.
Исследование математических моделей различных систем.
Выбор оптимального плана и задание уровней факторов.
Планирование эксперимента при уже выбранных факторах включает в себя 2 основные процедуры:
задание количества значений каждого фактора, которые он будет принимать. Каждое такое значение называется уровнем фактора. Обычно факторы имеют от 2 до 3 уровней, планы первого порядка изменяются на 2-х уровнях;
расчет уровней факторов, а именно верхнего и нижнего уровня для линейных моделей.
Но чтобы определить эти уровни, целесообразно задать нулевой уровень. Это исходная точка для построения плана, иногда ее называют центром плана. Чтобы найти верхний уровень необходимо к нулевому уровню прибавитьинтервал варьирования, и наоборот, для нахождения нижнего уровня необходимо из нулевого уровня вычесть интервал варьирования. Удвоенная величина интервала варьирования естьдиапазон изменения фактора.
Для упрощения записи плана, построения и анализа модели целесообразно избавиться от размерности факторов, т.е. привести их значения к одному диапазону от -1 (минимум) до +I(максимум).
Для факторов с непрерывной областью определения это делается с помощью следующих преобразований:
Прямое (кодированное) ,
Обратное (декодированное) ,
где: ,.
Например, значения фактора изменяются от 1 до 10:
В результате таких преобразований мы переходим от системы координат в натуральных значениях факторов к новой безразмерной системе.
Рассмотрим построение полного факторного эксперимента типа 2k .
Количество опытов в плане (N) рассчитывается по следующей формуле N = 2k, где к – количество факторов.
Значения факторов задаются на 2-х уровнях: минимальном (-1) и максимальном (+1).
Эксперимент, в котором реализованы все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.
Условия эксперимента записываются в виде таблицы, которая называется матрицей планирования эксперимента.
Матрица планирования для 2-х факторного эксперимента будет выглядеть следующим образом.
Матрица планирования 2-х факторного эксперимента 1-ого порядка
-
Номер опыта
X1
X2
y
1
-1
-1
Y1
2
-1
+1
Y2
3
+1
-1
Y3
4
+1
+1
Y4
Здесь представлены все сочетания уровней факторов. Каждый столбец называется вектор–столбцом, а каждая строка вектор–строкой.
В представленной матрице имеются 2 вектор-столбца независимых переменных (факторов) и один - зависимой переменной (отклик).
Графически такой план можно представить в виде точек в 2-х факторном пространстве, соответствующих вершинам квадрата в плоскости исследуемых переменных x1иx2,центром которого является начало координат для кодированных значений факторов:
Существует 3 наиболее распространенных приема построения матрицы.
Используется правило чередования знаков. В последнем или первом; столбце знаки меняются черев 1 строку, в следующем столбце через 2 строки, далее через 4 и т.д.
N |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
-1 |
-1 |
+1 |
y2 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
4 |
-1 |
+1 |
+1 |
y4 |
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
y5 |
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
y6 |
7 |
+1 |
+1 |
-1 |
y7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
y8 |
Второй прием основан на том, что при достраивании нового фактора (например, от 2-х факторного плана) каждая комбинация уровней исходной матрицы встречается дважды в сочетании с нижним (-1) и верхним (+1) уровнями нового фактора, т.е. первые 2 столбца идентично повторяются, а последний столбец изменяется для половины опытов на нижнем (-1) уровне, а для другой половины – на верхнем уровне (+1):
N |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
-1 |
+1 |
-1 |
y2 |
N |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
3 |
+1 |
-1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
y4 |
5 |
-1 |
-1 |
+1 |
y5 |
6 |
-1 |
+1 |
+1 |
y6 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
y7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
y8 |
Достройка kфакторного плана до более высокого порядка (например, 2-х факторного до 3-х факторного) осуществляется перемножением всех столбцов матрицы в исходном плане друг на друга, и в последующий столбец заносятся результаты данного перемножения для первой половины опытов, а для второй половины эти результаты берутся с обратным знаком:
N |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
2 |
-1 |
+1 |
-1 |
y2 |
3 |
+1 |
-1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
5 |
-1 |
-1 |
-1 |
y5 |
6 |
-1 |
+1 |
+1 |
y6 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
y7 |
8 |
+1 |
+1 |
-1 |
y8 |
Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента 2kпредставляет собой гиперкуб, центром которого является центр области экспериментирования. Например, для 3-х факторного эксперимента это будет куб:
Опыты соответствуют вершинам куба и пронумерованы для матрицы. составленной по 1-ому правилу.
В результате проведения эксперимента в соответствии с построенной матрицей строится полиномиальная модель вида:
где k– количество рассматриваемых факторов.
Пример. Предположим необходимо исследовать лекарственный препарат. Начальные условия: доза препарата изменяется в пределах от 100 до 500мл., кратность введения 1 или 2 раза в сутки, длительность воздействия от 10 до 30 дней. При постановке пассивного эксперимента для получения необходимых данных необходимо перебрать все возможные комбинации взаимодействия факторов. Предположим, что доза изменяется с шагом – 100 мл., а длительность воздействия с шагом в 5 дней, тогда для получения необходимых данных необходимо провести не менее 50 опытов. При активном же эксперименте (на основании методологии математического планирования эксперимента) для получения необходимой информации достаточно провести N = 2k= 23= 8 опытов. Ниже в таблице 2.1 представлена матрица сочетания кодированных и натуральных значений рассматриваемых факторов.
Таблица 2.1
Матрица 3-х факторного эксперимента
N |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
1 |
-1 (100) |
-1 (1) |
-1 (10) |
y1 |
2 |
-1 (100) |
-1 (1) |
+1 (20) |
y2 |
3 |
-1 (100) |
+1 (2) |
-1 (10) |
y3 |
4 |
-1 (100) |
+1 (2) |
+1 (20) |
y4 |
5 |
+1 (500) |
-1 (1) |
-1 (10) |
y5 |
6 |
+1 (500) |
-1 (1) |
+1 (20) |
y6 |
7 |
+1 (500) |
+1 (2) |
-1 (10) |
y7 |
8 |
+1 (500) |
+1 (2) |
+1 (20) |
y8 |
Примечание: в скобках представлены натуральные значения воздействующих факторов.
Модель, которая будет построена на основании данного плана, позволит получить значения взаимодействия этих факторов даже в тех диапазонах, где эксперименты не проводились.