Квантили распределения Колмогорова

p	1-p	p	1-p	p	1-p
0.99	0.44	0.50	0.83	0.15	1.14
0.90	0.57	0.40	0.89	0.10	1.22
0.80	0.64	0.30	0.97	0.05	1.36
0.70	0.71	0.25	1.02	0.02	1.52
0.60	0.77	0.20	1.07	0.01	1.63

Если вычисленное значение меньше табличного_1-p, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределенияF(y) с выборочнымF_n(y) не отвергается. Пригипотеза откло­няется (или считается сомнительной). Уровень значимости р при применении критерия Колмогорова выбирают обычно равным 0,20,3. Критерий Колмогорова может быть применен также для проверки гипотезы о том, принадлежат ли две выборки объемовn₁иn₂одной генеральной совокупности. При этом величинаопределяется из выражения , где– выборочные функции распределения, построенные для первой и второй выборок соответственно, а величина– по формуле

Для нормального распределения функция F(y) определяется по формуле

В случае выборок небольшого объема n< 20 для проверки гипотезы о законе распределения можно использовать простые кри­терии, основанные на сравнении генеральных параметров распре­деления и их оценок, полученных по выборке. В качестве оценивае­мых параметров удобнее всего брать моменты.

Глава 4. Теоретическое моделирование.

Имитационное моделирование.

По существу каждая модель есть форма имитации. В современной научной литературе нет единого представления об имитационной модели. Существует много определений имитационного моделирования. Остановимся на определении Шеннона:

Имитационное моделирование – это процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

Чаще всего под термином «имитационное моделирование» понимают программу, которая в процессе реализации ее на ЭВМ позволяет имитировать поведение реальной системы в различных условиях.

Имитационное моделирование целесообразно при выполнении любого из следующих условий:

• эксперименты с реальной системой являются невозможными;

• трудно обеспечить поддержание одних и тех же условий при каждом повторении эксперимента;

• для получения статистически значимых результатов необходимы большие затраты времени и средств;

• не существует законченной математической постановки данной задачи и разработанных аналитических методов ее решения или же математические методы слишком трудоемкие по сравнению с имитационным моделированием.

Весь процесс имитационного моделирования можно разделить на 3 крупные этапа:

1. формализация системы;

2. трансляция модели;

3. постановка машинных экспериментов.

Формализация системы.

В отличие от классических аналитических моделей строится не формализованное аналитическое выражение, а осуществляется «формулирование модели», т. е. переход от реальной системы к некоторой логической схеме. При этом определяются компоненты или элементы системы, параметры, переменные, связи между элементами, функциональные зависимости. Последние могут быть представлены в виде аналитических выражений. В процессе построения модели в первую очередь решаетсязадача имитации, а не описания поведения как системы в целом, так и ее элементов.

Трансляция модели– описание модели на языке ПЭВМ.

На первом этапе составляется алгоритм функционирования модели, удобный для использования и программирования. Затем после этапа подготовки данных и представления их в соответствующей форме составляется программа для ЭВМ. Описание модели на языке ЭВМ как бы материализует или объединяет в единое целое все элементы схемы, оживляет их и дает возможность ставить машинные эксперименты.

Постановка машинных экспериментов.

На этом этапе формируется и разрабатывается методика решения задач исследования системы. Например, может быть спланирован и проведен многофакторный эксперимент с моделью, на основе которого строятся полиномиальные модели, которые и будут основным инструментом для решения поставленных задач.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим подходом заключается в возможности решать задачи исключительной сложности, а именно:

• при наличии в одной системе элементов непрерывного и дискретного действия;

• в случае нелинейных соотношений любого характера, описывающих связи между элементами системы;

• в условиях воздействия многочисленных случайных факторов сложной природы, которые приводят к принципиальным и часто непреодолимым трудностям при аналитических исследованиях.

Представим 2 системы на разных уровнях иерархической организации: процесс взаимодействия популяции возбудителя и разнородных клеток в организме, эпидпроцесс распространения ВИЧ. Для описания процесса можно построить математические модели в виде уравнения и систем уравнений. Однако в таком случае необходимо прибегать к существенным ограничениям в виде постулатов и формализация процесса в интересующем аспекте. В результате с помощью решения уравнений происходит решение ограниченного круга задач и практически не возможно исследовать систему в широком смысле этого слова, как если бы возможно было ставить эксперименты с ней самой; а не с формализованной моделью. Имитационное моделирование ставит своей задачей построить модель, которая учитывает массу таких нюансов, которые все сразу аналитически не учесть в виде системы уравнений. В результате можно исследовать объект, получая большое количество информации о нем. В данном случае, например, для моделирования распространения ВИЧ при имитационном моделировании можно учесть с помощью анкетирования сексуальное поведение индивидуумов по многим параметрам.

Имитационное моделирование биологических тканей на примере гладкомышечной ткани.

1. Наиболее простой моделью мышечной ткани может служить одномерная структура, представленная в виде мышечного кольца шириной в одну клетку.

Формализация модели:

Чтобы получить из nклеток мышечное кольцо, необходимо каждуюi– ю клетку соединить противоположными боковыми поверхностями с двумя соседними (i– 1) и (i+ 1) – й клетками. При этом последняяn– я клетка соединяется с предпоследней (n– 1) – й и первой. Каждая клетка гладкомышечной ткани представляет собой волокно с одним ядром. Замкнутое кольцо таких волокон можно рассматривать как сечение или звено сосуда или кишки:

Поэтому на первом моделируется это звено, а на втором фрагмент сосуда или кишки, состоящий из mколец.

Каждая клетка-волокно может находиться в 3 –х состояниях: покоя (Р), возбуждения (S), рефрактерности (R) . В первой модели кольца объединим для простотыSиR. Возбуждение волокна будем рассматривать как его сокращение.

Функционирование мышечного кольца должно быть организовано по пространственному (i) и временному (t) параметрам.

переменные:

i– номер клетки,t– время работы (текущее);

параметры:

Т – к-во циклов работы системы;

N - к-во мышечных волокон;

T_R+S– время пребывания клетки в сост.(R+S);

начальные условия запуска системы:

задание клеток, находящихся в состояниях покоя – непокоя.

Трансляция модели:

Составим структурную схему имитационной модели мышечного кольца (одномерная модель ткани).

1. Определение исходных значений переменных и параметров модели и начальных условий запуска активности.

2. Счетчик времени, выполняющий функцию временной координаты модели.

3. Счетчик клеток, выполняющий функцию пространственной координаты модели.

4. Распознаватель покоя клетки: да – покой , нет – возбуждение или рефрактерность (R+S).

5. Уменьшение времени пребывания клетки в состоянии (R+S) на единицу.

6. Распознавание возбуждающего сигнала от двух соседних клеток, расположенных слева и справ от данной клетки.

7. Перевод покоящейся клетки в состояние возбуждения, если хотя бы одна из соседних клеток возбуждена.

8. Распознавание окончания опроса всех клеток кольца в данном временном шаге.

9. Вывод состояния клеток на печать или дисплей. Подготовка рабочих массивов для следующего такта времени t+ 1. Окончание и переход на начало процесса имитации.

Далее на основе этой схемы составляется программа для ЭВМ и на 3-ем этапе программирования осуществляется проведение машинных экспериментов с моделью. Например, можно варьировать такие параметры, как:

1. начальное количество возбужденных клеток (R+S);

2. временем нахождения клетки в состоянии (R+S);

3. длиной цепи.

Можно также имитировать внешний источник возбуждения с различной частотой воздействия.

Существует 3 основных направления использования имитационного моделирования (ИМ):

1. ИМ детерминированных объектов, очередное состояние каждого из которых жестко определяется совокупностью факторов в соответствии с логическими зависимостями;

2. ИМ вероятностных объектов, включающих в себя множество разнородных элементов, случайно-взаимодействующих между собой;

3. ИМ вероятностных объектов с возможным образованием очередей.

Фрагмент имитационной модели распространения инфекции.

Блок передачи инфекции, когда индивидуум вступает в контакт.

1. Определение p _i вероятность заражения

а) Строится плотность распределенияf(n)

n– количество контактов, необходимое для передачи инфекции для данной пары.

p_i= 1/nвероятность заражения

б) Строится функция распределения

2. Принятие решения.

Зная p_iна основе генератора псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения реализуется следующее условие:

Если λ ( 0-100 )  p _i , то партнер инфицирован.

Численные методы решения дифференциальных уравнений

В процессе моделирования биологических систем нередко возникают проблемы, связанные с решением дифференциальных уравнений аналитическими методами. Эти проблемы обусловлены главным образом, нелинейностью уравнений, их высоким порядком и наличием переменных коэффициентов. Поэтому все большее распространение получают численные методы. При использовании численных методов оперируют элементарными арифметическими операциями.

Рассмотрим моделирование инфекционного заболевания и механизмов действия препарата на фоне его развития.

При этом основное внимание должно быть уделено следующим двум основным механизмам функционирования исследуемой системы: взаимодействию возбудителя и иммунной системы, а также механизму действия препарата (или нескольких препаратов с различными механизмами действия). Очевидно, что оба эти механизма находятся в определенном взаимодействии между собой, как например, схема применения препарата должна быть скоординирована с состоянием иммунной системы, с одной стороны, и с динамикой концентрации возбудителя в организме, с другой стороны.

В процессе взаимодействия возбудителя и иммунной системы можно выделить, по крайней мере, три последовательные фазы. Первая из них - это стимуляция иммунной системы под влиянием возбудителя. Во второй фазе происходит включение неспецифических механизмов иммунной защиты, обеспечивающих оперативную борьбу с возбудителем в начальный период его репродукции. И, наконец, в третьей фазе процесса (через 2-3 недели) мощное действие оказывают специфические механизмы путем выработки специфических к данному заболеванию антител.

Действие препарата определяется схемой его применения, то есть временем начала его применения относительно момента заражения, дозой, кратностью и интервалом введения и т.п. В зависимости от механизмов действия препараты можно условно разделить на 2 группы: непосредственно действующие на возбудитель и оказывающие опосредованное действие. К первой группе препаратов можно отнести, например, антибиотики и химиопрепараты, а ко второй группе - иммуностимуляторы, индукторы интерферона, интерферон.

Можно выделить две основные группы заболеваний: вирусной и бактериальной природы. Механизмы развития процесса для этих групп заболевания существенно различны. Так, для вирусного заболевания специфика вируса в отличие от бактериальной инфекции состоит в том, что он размножается в клетках организма. В связи с этим можно выделить 3 важных механизма борьбы с вирусом. Первый из них направлен на уничтожение пораженных вирусом клеток. С этой целью иммунная система поэтапно вырабатывает Т-клетки “киллеры”, атакующие больные клетки организма. Происходит это в несколько этапов. Покоящиеся клетки-предшественники под действием антигенного стимула активируются и переходят в состояние, в котором они могут пролиферировать и дифференцироваться в зрелые эффекторные клетки. Второй механизм борьбы с вирусом затрудняет проникновение вирусов в здоровые клетки. Такой эффект достигается благодаря выделению пораженными клетками интерферона, повышающего порог проникновения вирусов в здоровые клетки. Известно, что интерферон достигает высоких концентраций в организме в первые же сутки. Кроме того, время полувыведения этого фактора из крови очень мало (менее 1-2 часов). Это обстоятельство позволяет говорить о том, что именно интерферон одним из первых вступает в борьбу с вирусом. И, наконец, третий механизм борьбы с вирусом предполагает выработку специфических антител, связывающих свободные вирусы, циркулирующие в межклеточном пространстве. В связи с тем, что основная масса вирусов сконцентрирована в пораженных клетках, главную роль в борьбе с вирусом играют Т-клетки.

При бактериальном заболевании, в отличие от вирусной инфекции, бактерии размножаются в межклеточном пространстве. Поэтому можно выделить два механизма борьбы иммунной системы с возбудителем. Первый из них (неспецифический) работает в первый период после заражения и включает в себя действие многих факторов, нейтрализующих и уничтожающих возбудителя. Один из самых действенных факторов - макрофагальная активность. Второй механизм борьбы так же, как и в случае с вирусной инфекцией, связан с выработкой специфических антител, формирующих иммунитет переболевшего к данному заболеванию. Процесс выработки антител завершается через 2-3 недели с момента заражения.

В связи с этим целесообразно построить модели действия препаратов противовирусной и антибактериальной направленности.

Как отмечалось ранее, можно выделить 3 важных механизма борьбы с вирусом. Первый из них направлен на уничтожение пораженных вирусом клеток. С этой целью иммунная система поэтапно вырабатывает Т-клетки “киллеры”, атакующие больные клетки организма. Второй механизм борьбы с вирусом затрудняет проникновение вирусов в здоровые клетки. Такой эффект достигается в значительной степени благодаря выделению пораженными клетками интерферона, повышающего порог проникновения вирусов в здоровые клетки. И, наконец, третий механизм борьбы с вирусом предполагает выработку специфических антител, связывающих свободные вирусы, циркулирующие в межклеточном пространстве. В связи с тем, что основная масса вирусов сконцентрирована в пораженных клетках, главную роль в борьбе с вирусом играют Т-клетки.

Лекарственный препарат может стимулировать функционирование каждого из трех перечисленных механизмов защиты, с учетом специфики его действия.

За основу была взята математическая модель гриппозной инфекции для мышей, которая, как известно, является адекватной биологической модели гриппа человека. Модель была адаптирована к действию широко используемой группы противовирусных препаратов: индукторов интерферона. Модель была модернизирована путем введения механизма защитного действия интерферона (I), индуцируемого пораженными клетками (), т.е. в модель был введен еще один механизм защиты.

Модель имеет следующий вид:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Начальные условия:

(0)=1; (0)=0;(0)=0;B(0)=0; (0)=0;F(0)=0; V(0)=1; I(0)=0; Q(0)=0;

Действующие факторы:

- численность популяции зараженных клеток;

- численность специфических В-лимфоцитов;

- численность специфических Т-лимфоцитов;

B- численность цитотоксических плазмоцитов В;

- численность цитотоксических Т-лимфоцитов;

F- количество иммуноглобулинов;

V- численность популяции инфекционных вирусных клеток;

I- количество интерферона;

- доза вводимого препарата;

- показатель ухудшения состояния организма.

Коэффициенты:

- коэффициент, характеризующий возникновение новых зараженных клеток;

- коэффициент, характеризующий количество невосприимчивых клеток;

- коэффициент, характеризующий нейтрализацию зараженных клеток цитотоксическими Т-лимфоцитами;

- коэффициент, характеризующий естественную убыль клеток;

- коэффициент пролиферации ; коэффициенты

- коэффициент пролиферации ; пропорциональности

- коэффициент дифференцировки ; выражения вида

- коэффициент дифференцировки ;

- коэффициент, характеризующий естественную убыльL_B;

- коэффициент пролиферации ; коэффициенты

- коэффициент пролиферации ; пропорциональности

- коэффициент дифференцировки ; выражения вида

- коэффициент дифференцировки ;

- коэффициент, характеризующий естественную убыль ;

- коэффициент, характеризующий естественную убыль В;

- коэффициент, характеризующий дополнительную гибель клетокпри взаимодействии с вирусинфицированными клетками;

- коэффициент, характеризующий естественную убыль ;

- коэффициент, характеризующий увеличениеF, пропорциональноеВ;

- коэффициент, характеризующий дополнительную гибель клетокFпри взаимодействии с вирусом;

- коэффициент, характеризующий естественную убыльF;

- коэффициент, характеризующий нейтрализацию вируса цитотоксическими Т-лимфоцитами;

- коэффициент, характеризующий естественную убыльV; - коэффициент, характеризующий скорость наработки интерферонаI;

- коэффициент, пропорциональный обратному времени полувыведения;

- коэффициент, учитывающий период полувыведения препарата из организма;

- коэффициент, определяющий степень поражения органа одним вирусом в единицу времени;

- коэффициент, являющийся обратной величиной времени восстановления пораженной части органа;

 - время активации.

Представленные дифференциальные уравнения описывают следующие процессы. Первое уравнение описывает динамику пораженных клеток (C_v), определяющуюся влиянием следующих пяти факторов: возможностью проникновения возбудителя в здоровую клетку (k₁), концентрацией возбудителя (V), количеством здоровых клеток, восприимчивых к действию возбудителя (1-k₂C_v), нейтрализацией клеток цитотоксическими лимфоцитами (-k₃C_vT_C) и естественной убылью пораженных клеток (-k₄C_v). Конечная цель функционирования системы защиты состоит в выработке специфических Т-лимфоцитов (киллеров) (T_C), интерферона (I) и специфических антител (F). Для формирования указанных факторов защиты моделируются клетки-предшественники указанных факторов:L_BиBдляF,L_T дляT_C. Защитное действие интерферона (I) в данной модели усилено за счет введения препарата, стимулируюшего его индукцию – индуктора интерферона (P_t).

В модель было введено уравнение, моделирующее степень поражения органа (Q).

При моделировании численности специфических B- иT-лимфоцитов используется дельта функция ((t-)).

Для приведения данной модели в соответствие с исследуемым объектом необходимо вводить масштабные коэффициенты. В данном случае коэффициенты подобраны для биологической модели гриппа на белых мышах.

Аналогично к этой модели могут быть адаптированы и другие препараты: иммуностимуляторы.

Бактерии в отличие от вирусов размножаются в межклеточном пространстве. Поэтому можно выделить два механизма борьбы иммунной системы с возбудителем. Первый из них (неспецифический) работает в первый период после заражения и включает в себя действие многих факторов, нейтрализующих и уничтожающих возбудителя. Один из самых действенных факторов - макрофагальная активность. Второй механизм борьбы так же, как и в случае с вирусной инфекцией, связан с выработкой специфических антител, формирующих иммунитет переболевшего к данному заболеванию. Модель была адаптирована к действию антибиотиков, представляющих класс широко используемых препаратов.

При разработке той части модели, которая моделирует взаимодействие возбудителя и иммунной системы, были использованы некоторые элементы ранее разработанных моделей инфекционных заболеваний Г.И.Марчука и Д.В.Каляева.

Модель состоит из семи дифференциальных уравнений вида:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Начальные условия:

V(0)=1; (0)=0;B(0)=0;F(0)=0;Z(0)=0;Q(0)=0.

Действующие факторы:

V- численность популяций бактерий;

- численность специфических В-лимфоцитов;

В- численность цитотоксических плазмоцитов В;

F- количество иммуноглобулинов;

Z- концентрация макрофагов, осуществляющих неспецифическое воздействие;

- доза вводимого препарата (антибиотика);

- суточная доза препарата;

- остаточная концентрация препарата после предыдущего его введения;

Q - показатель ухудшения состояния организма.

Коэффициенты:

- коэффициент размножения бактерий;

- коэффициент, связанный с вероятностью нейтрализации бактерий антителами при встрече с ними;

- коэффициент, связанный с вероятностью нейтрализации бактерий макрофагами при встрече с ними;

- коэффициент, связанный с нейтрализацией бактерий антибиотиком;

- коэффициент пролиферации коэффициенты

- коэффициент пролиферации пропорциональности

- коэффициент дифференцировки выражения вида

- коэффициент дифференцировки

- коэффициент, характеризующий естественную убыль ;

- коэффициент, характеризующий естественную убыльB;

- коэффициент, характеризующий увеличениеFпропорциональноеВ;

- коэффициент, характеризующий дополнительную гибель клетокFпри взаимодействии с бактериями;

- коэффициент, характеризующий естественную убыльF;

- коэффициент, обусловленный ответом организма на проникновение чужеродных тел - коэффициент размноженияZ;

- коэффициент пропорциональности в выражении вида ;

- коэффициент, связанный с вероятностью нейтрализации бактерий макрофагами при встрече с ними;

- коэффициент, характеризующий естественную убыль макрофагов -Z;

- коэффициент, учитывающий период полувыведения препарата (антибиотика) из организма;

- коэффициент, зависящий от степени поражения органа одной бактерией в единицу времени;

- коэффициент, являющийся обратной величиной времени восстановления пораженной части органа;

 - время активации.

В модели разделены три механизма защитного действия: неспецифический и специфический, а также непосредственное действие препарата. Первый представлен действием одного из наиболее важных факторов - макрофагальной активностью (Z), которая описывается в пятом уравнении. Второй, специфический механизм представляется тремя уравнениями, описывающими динамику специфических лимфоцитов (L_B), цитотоксических плазмоцитов (B) и конечного продукта этих двух типов клеток - иммуноглобулинов (F). И, наконец, третий механизм защитного действия - непосредственное действие антибиотика () на бактерии. В связи с этим динамика численности возбудителя (V) определяется четырьмя факторами: степенью его размножения (), нейтрализацией возбудителя специфическими антителами (-), макрофагальной активностью (-) и прямым действием препарата (антибиотика) на возбудитель (-). Механизмы защиты представлены следующими переменными: .

При составлении модели были введены некоторые унифицированные элементы, взятые из модели вирусной инфекции. Это касается механизма выработки специфических антител, в соответствии со следующей цепочкой: . Кроме того, также как и для вирусной инфекции были введены две дельта функции -(t-), моделирующие активацию численности специфических В-лимфоцитов (L_B)и появление активированных макрофагов (Z). Период активации()выбран равным 1 суткам.

Для настройки модели под конкретный объект необходимо подбирать масштабные коэффициенты, которые могут быть определены на основе сопоставления априорных и апостериорных результатов эксперимента в сочетании с накопленной ранее информацией о динамике заболевания. И, наконец, последнее уравнение описывает изменение пораженной ткани (Q), которое обуславливается разрушением ткани организма бактериями и ее восстановлением за счет деятельности самого организма.

Таким образом, получена система уравнений, пригодная для изучения процессов взаимодействия трех факторов: хозяина, паразита и лекарственного препарата.

Разработанные модели дают возможность с помощью машинных экспериментов, на гипотетическом уровне, исследовать специфику действия исследуемых препаратов, а также различных их комбинаций. Каждый новый препарат должен быть адаптирован к модели в соответствии с его назначением и механизмами действия. Модель также позволяет выбрать оптимальную схему препарата. Результаты моделирования существенно дополняют данные клинических испытаний препаратов.

Марковские процессы.

Случайный процесс, вероятностные характеристики которого в будущем зависят только от его состояния в данный момент (t₀) и не зависят от того, как и когда система пришла в это состояние, называется марковским.

На практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются, но нередко приходится иметь дело с процессами, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь.

В моделировании большое значение имеют так называемые марковские процессы с дискретными состояниямиинепрерывным временем. Эти процессы мы и будем рассматривать.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состоянияS₁,S₂,S₃,,S_nможно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», за очень небольшой промежуток времени.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределённы, случайны, если переход может осуществиться в любой момент.

Примеры таких процессов:

1. Из области техники:

Имеется техническое устройство S, которое состоит из 2^хузлов, каждый из которых может в любой момент времени отказать, после чего мгновенно начинается ремонт узла.

Возможные состояния системы можно перечислить:

S₀– оба узла исправны,

S₁– первый узел ремонтируется, второй исправен,

S₂– второй узел ремонтируется, первый исправен,

S₃– оба узла ремонтируются.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой–графом состояний. Состояния системы изображаются прямоугольниками или кругами, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками, соединяющими состояния. Для рассмотренного примера граф состояний будет иметь вид:

2.Примеры из области биологии: а) динамика сонно-бодрого поведения. В самом простом случае можно четко идентифицировать 3 состояния:

бодрствование (Б), медленноволновый сон (М) и парадоксальный сон (ПС). Граф состояний:

б) динамика развития (прямого и обратного) патологического процесса. Это касается в первую очередь функциональной перестройки различных подсистем на грани нормы и патологии (изменение давления крови и других параметров). Такие же изменения можно наблюдать в экстремальных условиях.

Очевидно, что в таких системах дискретность процесса весьма условна. Необходимо, чтобы продолжительность переходного процесса была существенно меньше продолжительности периода нахождения в состояниях.

Если можно составить граф состояний и провести эксперименты или наблюдения за системой, то для марковского процесса можно построить довольно простую математическую модель. Но перед этим важно ознакомиться с важным понятием теории вероятностей – понятием “потока событий”.

Поток событий– это последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Например, поток сбоев в работе блока или подсистемы организма, последовательность поступления пациентов, каких-либо внешних воздействий на биообъект, поток частиц, попадающих на счетчик Гейгера и т. п. В таком случае переход системы из сост. в. с. сост. осуществляется под действием потоков событий.

Важной характеристикой потока событий является его интенсивность.- это среднее число событий, приходящееся на единицу времени или величина, обратная времени нахождения системы в состоянии, то есть это:

а) среднее число событий, приходящееся на единицу времени;

б) величина, обратная ср. времени нахождения системы в данном состоянии.

Например: Переход системы из состояния в состояние происходит под действием потока событий.

Начальные условия:

t₁= 3 секунды;

n₁₂=n₁₃= 3;

Необходимо найти какова интенсивность потоков из состояния S₁:

1. ;.

2. ;

Рассмотрим стационарные потоки. Если вероятность попадания события на участок времени tзависит только от длины этого участка, то это называетсястационарным потоком. В таком случае для такого потока вероятность попадания события на элементарный (малый) участок времениtравна:

P_t=t.

Если учесть, что: , то

Для простейшего потока вероятность попадания события на элементарный (малый) участок времени tравна:

,

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно будет представить себе, что все переходы системы Sиз состояния в состояние происходят под действием каких-топотоков событий(поток сбоев, поток восстановлений, поток появленияS_g–го состояния и т. п.). Если система находится в состоянииS_i, из которого есть непосредственный переход в другое состояниеS_j(стрелка, ведущая изS_iвS_j), то мы будем это себе представлять так, будто на систему действует

поток событий, переводящий ее по стрелке S_i–S_j. Для наглядности удобно на графе состояний у каждой стрелки проставлять интенсивность того потока, который переводит ее из состоянияS_iвS_j. Вернемся к вышеприведенному примеру с отказами блоков системы:

Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии S₀(оба узла исправны). Рассмотрим какой поток переводит ее в состояниеS₁. Очевиднопоток отказовпервого узла. Его интенсивностьравна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Поток событий переводящий систему обратно изS₁вS₀, это поток«окончаний ремонтов»первого узла. Его интенсивностьравна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий в соответствии с другими переходами.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса, т. е. можно найти все вероятности состоянийp_i(t) как функции времени. Для этого составляются и решаются так называемыеуравнения Колмогорова– дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Рассмотрим на примере, как эти уравнения составляются:

Определим p₀(t). Для этого зададим t малое приращение t.

p₀(t+t) =p+p+p.

p

p = p₀(t)  [1 – (₁t + ₂t)], где ₁t + ₂t

- вероятность того, что система находилась в состоянииS₀и за времяtне перешла (осталась) в другое состояние.

p_(0-1)+p_(0-2)

p_01p_02

- это вероятность перехода за tизS₀вS₁илиS₂. - вероятность того, что система находилась в состоянииS₁и за времяtперешла вS₀.

p=p₁(t)₁t

p_10

, где ₁t– вероятность перехода заtизS₁вS₀.

p₁(t)p_(10)=p₁(t)₁t

p- вероятность того, что система находилась в состоянииS₂и за времяtперешла вS₀.

p_20

p=p₂(t)₂t

где ₂t– вероятность перехода заtизS₂вS₀.

В итоге: p₀(t+t) =p₀(t)[1 – (₁t+₂t)] +p₁(t)₁t+p₂(t)₂t.

Преобразуем:

p₀(t+t) –p₀(t)/t= -p₀(t) (₁+₂) +p₁(t)₁+p₂(t)₂