Проверка однородности результатов измерений

Грубые измере­ния являются результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине. На этом основаны статистические критерии оценки и исключения грубых измерений. Наличие грубой ошибки, в выборке значений случайной величины Yнарушает характер распределения, изменяет его параметры, т. е. нарушается однородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений, т. е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборкиy₁,y₂, …,y_nполучены из одной и той же генеральной совокупности. Будем по-прежнему полагать, что случайная величина подчиняется нормальному распределению. Для решения этой задачи предложено несколько методов.

Это использование критерия Стьюдента:

при числе степеней свободы f = n – 2.

Пример.Было поставлено 4 повторных опыта на различных животных, подвергнутых одинаковому фармакологическому воздействию, в условиях облучения с одинаковой дозой. Оценивалась предпочтительность жизни. Получены следующие данные: 9, 10, 8, 5 суток. Исключим подозрительный четвертый опыт. Тогда,, табличное значение критерия Стьюдента приf= 2 иp= 0.95,t= 4.3, отсюдаt_р >t_табл. Следовательно, опыт на четвертом животном – грубая ошибка.

Возможно исключение грубой ошибки на основе r– распределения. Допустим, изnповторных наблюдений одно вызывает сомнение (y_m). Для проверки сомнения, тогда рассчитываетсяr_m следующей формуле:

где s– стандартное отклонение.

Если найденное значение r_mне превосходит по абсолютной величинеr_таблприf=n– 2 и выбранном уровне значимости, то можно считать результаты наблюдений однородными.

Рассмотрим, для пояснения, предыдущей пример:

,

, табличное значение приf= 2 иp=0.05r_табл= 1,689, отсюдаr_min>r_табл, а значит результаты четвертого опыта необходимо исключить

Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности.

Проверку гипотез относительно параметров распределения генеральной совокупности проводили в предположении нормального распределения наблюдаемой случайной величины. Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в математической статистике называют основной гипотезой. Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощикритериев согласия. Критерии согласия применяют для проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения. Критерии согласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетическом законе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выборке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения не опроверга­ется.

Вероятностный характер критериев не позволяет однозначно принять или отвергнуть проверяемую гипотезу. Критерий позволяет утверждать, что гипотеза не противоречит опытным данным, если вероятность наблюдаемого отклонения от гипотетического закона велика, или что гипотеза не согласуется с опытными данными, если эта вероятность мала. Чаще всего используется один из двух критериев согласия: критерий Пирсона(критерий χ²) икритерий Колмогорова.

Для применения критерия χ²(хи-квадрат) весь диапазон изменения случайной величины в выборке объемаnразбивается наkинтервалов. Число интерваловkберут обычно в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20. Число элементов выборки, попавших вi-интервал, обозначим черезn_i. Построение гистограммы выборочного распределения или общие соображения о механизме возникновения случайной величины являются основанием для выбора типа закона распределения. Параметры этого закона могут быть определены или из теоретических соображений, или нахождением их оценок по выборке. На основании принятого закона распределения вычисляются вероятностиp_i, попадания случайной величиныYвi-й интервал. Величина, характеризующая отклонение выборочного распределения от предполагаемого, определяется формулой:

(3.14)

где k— число интервалов;n— объем выборки.

Сумма (3.14) имеет приближенно χ²-распределение сf=k-c- 1 степенями свободы, где с — число параметров гипотетического закона распределения, определяемых по выборке.

Для нормального распределения с=2, если и , иs_yопределяются по данной выборке. Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости р, если

(3.15)

Если делается вывод, что гипотеза не согласуется с выборочным распределением.

Для применения критерия согласия Колмогорова необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения F_n(y) от генеральнойF(y).

Затем вычисляется величина :

В таблице 3.2 приведены квантили _1-pраспределения Колмогорова.

Таблица 3.2