Расчет коэффициентов полиномиальных моделей.

Для построения полиномиальных моделей необходимо выполнить следующие условия:

1. Отклик y должен быть случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Гипотезу о нормальности распределения y можно проверить стандартными методами. К сожалению, зачастую это требование принимается на веру.

2. Дисперсия величин y не должна зависеть от абсолютной величины y. Это условие проверяется с помощью критериев однородности дисперсии в разных точках факторного пространства.

3. Значения факторов не должны быть случайными величинами. Это условие означает, что фиксация и поддержание каждого фактора на заданном уровне осуществляется с точностью меньше ошибки воспроизводимости результатов.

Расчет коэффициентов, чаще всего, осуществляется методом регрессионного анализа на основе матричной алгебры. При этом осуществляется минимизация невязок истинных значений функции отклика y (экспериментальных данных) и значений y, предсказанных с помощью модели (расчетные данные). Для этого используется какая-либо целевая функция, например (чаще всего), сумма квадратов отклонения расчетных и экспериментальных значений откликов (метод наименьших квадратов):

где i - № опыта (в случае без дублирования опытов);

– расчетные (предсказанные) значения отклика;

– экспериментальные значения отклика.

Построение модели

Расчет коэффициентов полиномиальных моделей методом наименьших квадратов.

В матричном виде расчет проводится по формуле:

где: x – матрица плана; x^T– транспонированная матрица плана; y – вектор столбец значений функции отклика.

Особый интерес представляет обращенная матрица (). Это матрица ошибок коэффициентов (вариационно-ковариационная матрица). Ее диагональные элементы – это дисперсии коэффициентов, а остальные элементы – ковариации, определяющие статистическую зависимость между коэффициентами полинома.

Пример. Рассмотрим расчет коэффициентов и их ошибок для 2-х факторного плана 1-ого порядка (N = 2²= 4), таблица 2.2:

Таблица 2.2

Матрица 2-х факторного плана 1-ого порядка

N	x0	x1	x2	y
1	+1	-1	-1	y1
2	+1	-1	+1	y2
3	+1	+1	-1	y3
4	+1	+1	+1	y4

где x₀– так называемый «фиктивный» фактор, необходимый для расчета коэффициента.

Транспонируем матрицу:

Обращение матрицы (матрица ошибок).

Итак:

После умножения левой и правой части на

.

1. Матричный расчет коэффициентов без дублирования опытов:

;;.

или в развернутом виде:

(2.1)

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:

(2.2).

Записи (2.1) и (2.2) тождественны. Умножим обе части соотношения (2.2) на x^T:– это система нормальных уравнений.

Чтобы решить эту систему необходимо записать в явном виде элементы матрицы столбца B. Для этого умножим левую и правую часть на :. В результате получаем.

2. Расчет коэффициентов при дублировании опытов.

Рассмотрим случай с равномерным дублированием по всем опытам, т.е. с одинаковым количеством повторных опытов. Здесь могут быть 2 подхода: a) дублирование матрицы по числу повторов; b) каждому одиночному наблюдению соответствует своя строка в матрице плана, при записи матрицы x не делаются различия между основными и повторными опытами (т.е. для каждого дублированного опыта – матрицы плана повторяются). В таком случае количество строк в матрице будет N*n, где N – число основных опытов, а n – число повторных опытов.

1. Построим план 2²с двумя дублированными опытами:

;;

2. Матрица x рассматривается как матрица основных опытов (исходная матрица не дублируется). Для учета информации при повторных опытах, используется матрица весовQ, которая представляет собой квадратную (N*n), диагональную матрицу. Элементы главной диагонали матрицы Q равны числу опытов (основных и повторных) в соответствующих строках матрицы x.

;;.

Тогда система уравнений для матричного расчета имеет следующий вид: , где- вектор столбец средних значений дублированных опытов. Коэффициенты регрессии определяются по формуле:.

3. Расчет коэффициентов моделей при неравномерном дублировании опытов:

;;;

;;;

;;

;

.

Произведем вывод формулы матричного расчета на основе расчета посредством метода наименьших квадратов (МНК):

Из системы уравнений МНК:

Эту систему уравнений можно представить в виде матричного уравнения: [A][B]=[y], или

Расчет коэффициентов моделей также можно производить в аналитической форме. Эти формулы приведены ниже:

;;.