§ 3.4. Механическая энергия.

Энергия – важная характеристика состояния тела, и она широко используется не только в физике, но и во всех других областях жизни. Энергия – физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу. Механика рассматривает два вида энергии – кинетическую и потенциальную. Их сумма образует полную механическую энергию тела. Энергия тела уменьшается, когда тело совершает работу против внешних сил, и увеличивается, когда внешние силы совершает работу над телом. Работа – это способ изменения энергии тела, передачи энергии от одного тела к другому. Энергия и работа имеют одинаковую единицу измерения. Мы отмечали, что работа сопровождается изменением состояния тела, она – характеристика процесса. Энергия определяется состоянием тела, ее называют функцией состояния. При переходе тела из одного состояния в другое разность его энергий в конечном и начальном состояниях называют изменением энергии. Свойство функции состояния – ее изменение одинаково для любых процессов, связывающих эти два состояния.

Пусть тело перемещается под действием силы. Элементарная работа dA =F_sds =F_sds. Применив второй закон Ньютона и определение тангенциального ускорения, получаем: Fs=ma_=mdυ/dt и далее: dA = . Этот результат свидетельствует о том, что работа превращается в приращение некоторой величины, соответствующей данному состоянию тела. Эту величину называют кинетической энергией тела - E_к:

E_к= (3.4.1)

Кинетическую энергию можно выразить через характеристику состояния тела – импульс p=mv:

E_к=p²/2m (3.4.2)

Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как сумму кинетических энергий всех его точек: E_к = . Использовали формулу (1.7.1) связи линейной и угловой скоростей, о также формулу (2.4.1), указывающую определение момента инерции, получаем формулу кинетической энергии вращающегося тела:

E_к= (3.4.3)

На практике часто встречается качение твердого тела – это вид движения, когда все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. При качении одна или несколько точек тела касаются поверхности, по которой катится тело, и в момент касания неподвижны. Это означает, что тело имеет мгновенную ось вращения, проходящую через эти точки и лежащую в плоскости, по которой катится тело. В любой момент времени движение тела можно считать вращением относительно такой мгновенной оси. Качение тела можно рассматривать как сумму двух движений: вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, и поступательного с линейной скоростью центра инерции. Кинетическая энергия катящегося тела складывается из двух частей:

(3.4.4)

Здесь v₀ - скорость поступательного движения центра инерции, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела перпендикулярно плоскостям перемещения его точек.

Кинетическая энергия – энергия движения, она численно равна работе, которую может совершить тело до полной остановки. При перемещении тела из точки 1 в точку 2 работа внешней силы на этом пути A₁₂ равна изменению его кинетической энергии:

A₁₂= (3.4.5)

Для элементарного изменения состояния

dA=dE_к (3.4.6)

С уществуют силы, работа которых не зависит от формы траектории, связывающей начальное и конечное положения тела. Такие силы называются консервативными или потенциальными. Поясним это рис. 13. Если тело переместится из точки 1 в точку 2 по траектории 1а2, сила совершит работу А_1а2; при перемещении по траектории 1б2 работа равна А_1б2. По определению консервативной силы А_1а2= А_1б2. Работа силы по замкнутому пути A ( например, 1а2б1) равна нулю. Действительно, A = А_1а2+ А_2б1= А_1а2 - А_1б2 = 0. Заметим, что при измении направления движения на противоположное (см. рис. 11) угол межде векторами силы и перемещения из острого превращается в тупой, при этом их косинусы отличаются только знаком. Это означает, что если при движении в одном направлении работа силы положительная, то при движении в противоположном направлении она отрицательная. Отсюда следует еще одно свойство консервативной силы – равенство нулю работы по любой замкнутой траектории.

Покажем, что из трех сил – тяжести, упругости и трения первые две консервативные.

Пусть на тело действует сила тяжести, и тело перемещается из точки 1 в точку 2 (рис.14). Вектор силы тяжести m и элементарное перемещение ds (для наглядности пренебрегли математической строгостью, нарисовав его) образуют угол . Вычислим работу силы тяжести, учитывая, что ds^.соs=- dy: . Действительно, работа силы тяжести выражается через характеристики состояния тела в его начальном и в конечном положениях - координат y₁ и y₂. Из этой же формулы следует, что работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю – сила тяжести консервативная.

Аналогичный результат дает сила упругости F = -кх: , что доказывает ее консервативный характер.

Сила трения неконсервативная. Действительно, при любом направлении движения эта сила направлена против движения, ее работа на любом элементарном перемещении отрицательна, следовательно, работа на замкнутом пути не равна нулю.

Работа консервативной силы равна уменьшению некоторой величины, являющейся функцией состояния тела и измеряющейся в СИ в джоулях. Эту функцию называют потенциальной энергией Е_п, разность ее значений в начальном -1 и в конечном – 2 состояниях тела равна работе силы при перемещении тела по любой траектории, связывающей два его положения:

А₁₂=Е_л1 – Е_п2 (3.4.7)

При элементарном (бесконечно малом) изменении состояния тела

dA=-dE_п (3.4.8)

Оказывается, что мы уже вывели формулы потенциальной энергии. Напомним, что потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, зависящая от взаимного положения тел. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести земли зависит от его высоты h над горизонтальным уровнем, принятым за нулевой, и выражается формулой:

E_п =mgh (3.4.9)

Для упругой деформации за нулевой уровень потенциальной энергии естественно принять недеформированное состояние, тогда формула потенциальной энергии упруго деформированного тела имеет вид:

Е_п= (3.4.10)

Полная механическая энергия тела Е (иногда ее называют механической энергией) состоит из кинетической и потенциальной энергий:

Е = Е_к + Е_п (3.4.11)