§ 3.5. Закон сохранения момента импульса

При вращении тела его «запас движения» также зависит от инертности тела и его скорости и называется моментом импульса:

(3.5.1)

Момент импульса – аксиальный вектор, его единица в СИ обозначается (кг^.м²/с). Основной закон динамики вращательного движения (2.6.5) констатирует, что момент импульса изменяется под действием момента силы, и это изменение пропорционально времени воздействия:

Р ассмотрим тело как систему материальных точек, и воспользуемся соответствующим определением момента инерции (формула 2.4.1): L=I=m_ir_i² =m_iv_i r_i. Мы получили, что момент импульса тела. равен сумме моментов импульсов материальных точек, образующих это тело. Момент импульса материальной точки массы m, движущейся со скоростью υ по окружности радиуса r равен:

L=mυr (3.5.2)

На рис. 15 изображена такая точка: ось вращения лежит в плоскости рисунка, вектор - указывает положение точки на траектории, - ее скорость, - момент импульса точки, - угловая скорость тела. Вектор момента импульса м.т. определяется векторным произведением:

(3.5.3)

Напомним, - импульс точки.

Момент импульса тела складывается из моментов импульсов всех его точек:

(3.5.4)

Отметим, что полученная нами формула (3.5.4) применима для определения момента импульса любой системы тел, а не только совокупности м.т., образующих а.т.т.

Рассмотрим систему тел. Каждое из них подчиняется основному закону динамики вращательного движения: . Просуммируем эти формулы по всем телам системы. Напомним, что силы взаимодействия тел системы друг с другом и, соответственно, моменты этих сил, называются внутренними и, согласно третьему закону Ньютона, уравновешивают друг друга. В результате сложения получим уравнение, его левая часть есть изменение момента импульса системы, а правая часть равна сумме моментов внешних сил – их равнодействующая. Уравнение примет знакомую нам форму . В замкнутой системе тел , поэтому изменение момента импульса . Это проявление закона сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел, равный векторной сумме моментов импульса всех ее частей, сохраняется:

(3.5.5)

Есть много знакомых каждому из нас примеров проявления закона сохранения момента импульса: акробаты выполняют сальто, балерины или фигуристы выполняют пируэты, вспомните лекционные демонстрации (опыты со скамьей Жуковского, гироскоп).

автопилот),

Напомним (см. § 3.1), что закон сохранения момента импульса называется фундаментальным, т.к. имеет самую широкую область применения: он «фундаментальнее» основного закона динамики вращательного движения и есть следствие изотропности пространства.