§ 5.3. Теорема Гаусса.

П ринцип суперпозиции позволяет рассчитать электрическое поле, созданное любыми заряженными телами, рассматривая их как систему точечных зарядов. Иногда это сопряжено с заметными математическими трудностями. Поле, созданное симметричным распределением зарядов, значительно легче рассчитать, используя теорему Гаусса. Ее формулировка использует понятие потока вектора напряженности через поверхность. Поток вектора – скалярная величина, он равен (ил пропорционален) числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. На рис. 18 силовыми линиями изображено электростатическое поле, в котором находится плоская поверхность площадью S. Ее пространственную ориентацию указывает нормаль , образующая с угол . Поток через эту элементарную поверхность равен EScos.=E_nS. Из определения ясно, что

Рис.18 поток положительный, если 0< 90⁰ (силовые линии входят в поверхность); поток отрицательный, если 90⁰<180⁰ (силовые линии выходят из поверхности); поток равен нулю, если  =90⁰ (силовые линии скользят по поверхности, не пересекая ее).

Теперь найдем поток через замкнутую поверхность произвольной формы (рис.19). Разобьем эту поверхность на элементарные участки площадью dS (на рисунке они обозначены S), найдем элементарные потоки и просуммируем их по всей поверхности. Заметим, что в любой точке замкнутой поверхности нормаль принято направлять наружу.

Р ис. 18

Поток через замкнутую поверхность обозначают так: . Кружок на интеграле указывает, что поверхность замкнутая. Заметим, что на нашем рисунке поток равен нулю: линии насквозь проходят через поверхность, так что число входящих в поверхность силовых линий равно числу выходящих из нее. Вспомним, что силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах, т.е. источниками и стоками потока являются заряды. Понятно, что если внутри замкнутой поверхности нет зарядов, то поток через нее равен нулю. Поток – это разность числа входящих в поверхность и выходящих из нее силовых линий. Мысленно деформируйте или переместите на новое место поверхность на рис. 18. Поток через нее всегда равен нулю, если заряд находится снаружи. Если заряд окажется внутри, то поток через поверхность любого размера и формы один и тот же. Это и есть содержание теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную:

(5.3.1)

Рассмотрим примеры применения теоремы Гаусса.

а) Поле однородно заряженной бесконечной нити. На рис. 19 показан отрезок нити (фиолетовая линия), на нити равномерно распределен заряд (его обозначили знаками «плюс»). На каждом элементе длины dl содержится заряд dq, линейная плотность заряда  = dq/dl=const. Понятно, что поле обладает цилиндрической симметрией. Это значит, что линии напряженности (оранжевые векторы) направлены по радиусам прямого цилиндра, ось которого совпадает с нитью. В качестве замкнутой поверхности рассмотрим часть такого прямого цилиндра радиусом r и длиной l, на рисунке он показан пунктирными линиями. Силовые линии пересекают боковую поверхность цилиндра по нормали, создавая поток ES_бок=E2rl, и скользят вдоль оснований цилиндра, не создавая потока сквозь них. Суммарный заряд, заключенный внутри этой поверхности q=l. Подставляя эти результаты в формулу (5.3.1), получаем:

(5.3.2)

б) Бесконечная однородно заряженная плоскость. Поверхностная плотность заряда =dq/dS=const. Из соображений симметрии ясно, что силовые линии равномерно выходят из плоскости перпендикулярно к ней в обе стороны, если плоскость заряжена положительно, и входят в нее, если заряд плоскости отрицательный. (Сделайте рисунок самостоятельно). С каждой стороны плоскости линии напряженности направлены в противоположные стороны, но густота их одинакова. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны ей. Силовые линии скользят по его боковой поверхности и пересекают оба основания параллельно нормали к каждому основанию. Суммарный поток равен 2ES. Суммарный заряд, находящийся внутри поверхности, q=ES. Из теоремы Гаусса получаем:

E= /2₀ (5.3.3)

в) Плоский конденсатор. Он образован двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями с одинаковой плотностью зарядов: ₊= _-= = const (рис. 20). Н а рисунке обозначены заряды плоскостей и нарисовано по одной силовой линии полей этих зарядов. Согласно принципу суперпозиции , так что

E= /₀ , внутри конденсатора (5.3.4)

Е=0, снаружи конденсатора (5.3.5)

Плоский конденсатор является источником однородного электрического поля, во всех точках которого векторы напряженности одинаковы, а силовые линии – параллельные прямые, проведенные с равномерной плотностью, при этом поле сосредоточено в пространстве между пластинами. Разумеется, реальный плоский конденсатор имеет пластины конечных размеров, и вблизи его краев поле неоднородное. Но чем меньше расстоянием между пластинами по сравнению с линейным размером пластин, тем точнее электростатическое поле в центральной части объема конденсатора соответствует однородному. На практике для получения однородного поля используют плоский конденсатор.

г) Поле равномерно заряженной сферы. Из соображений симметрии ясно, что силовые линии – радиальные прямые⁷. Такое поле называется сферически симметричным. Легко посчитать поток через любую сферическую поверхность радиуса r, центр которой совпадает с центром заряженной сферы: ES=E4r². Если радиус поверхности интегрирования равен или больше радиуса сферы R (r  R), то находящийся внутри поверхности интегрирования заряд равен заряду сферы q. Если r<R, то внутри поверхности интегрирования нет заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем: равномерно заряженная сфера снаружи создает такое же поле, как точечный заряд, помещенный в ее центр (см. формулы 5.2.2 и 5.2.3); внутри сферы поля нет, Е=0.