Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

134

НЕК:ОТОРЫЕ

ТЕОРЕМЫ

О

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНК:ЦИ.Я:Х

(ГЛ.

,L.V

Но

отношение

производных

l +

(x+sin х)'

I+cosx

=

cos Х

(х)'

l

при

х-+ оо

не

стремится

ни

к

какому

пределу,

между

О и

2.

Пр

и мер

2.

lim

lim

2ах =~.

х •

оо

2сх

с

Х • 00

Пр

им ер

3.

а

колеблется

«

tgx

cos

2

x

li"m

_1 cos

2

3x=

li'm

_1

2-3cos3xsirt3x

lim

--=

lim

---

х->- л/2 3 cos

2

х

х .i/2

3

2 cos х sln

х

-+л/2 tg

Зх

х-+ л/2

3

3x

=

cos

2

lim

cos

Зх

lim

s!n Зх=

lim

3s!n Зх, (-1)

=З (-1) • (-!) = 3

х-+л/2

cosx

х-+л/2

slnx

х-+л/2

slnx

1

•

П риме р

4.

lim

:

=

iim -i = О.

Вообще, при

любом целом

п > О

Х

оое

Х,..оое

К предыдущим случаям сводятся случаи других

ностей, которые символически записывают так:

неопределен•

а)

О,оо,

б)

О°,

в)

00°,

г)

100

,

д)

00-00,

и	смысл	которых		состоит в следующем.
	а) Пусть		lim f (х) = О,		lim <р (х)	= оо;		требуется
		х		а	х-+-а
lim [f (х) <р (х)].			Это - неопределенность			типа		О. оо.
Х	й
	Если	искомое		выражение	переписать		в виде
				lim [f (х)	<р (х)]= lim		f \х)
				~~а	х а		__
							(j) (х)

найти

или

в

виде

то

при

х-+ а

мы

lim	[f (х) <р (х)]=		lim	(J) ix)	,
« а			х а	__
				f (х)
получим		неопределенность			вида

о O

или

вида

0G ~

.

п

ример

5		.
	.	1
		1mxn
		Х О

I nx=

Х

.	ln х
1
,m--
	1
О
	xn

=

1. 1m

Х О

-1 х

n -xn+:i.

-

Iim Х О

xn

-=0. n

б) Пусть lim [f (х)](1) <х>,

lim f (х) =0,

х а

или, как говорят,

lim	<р (х) = О;	требуется
х а
раскрыть неопределенность

найти вида 0°.

«->-

а

$1)

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНI(ЦИЙ ех, sin х, cos 1V	139

Если I х 1< 1,	то, взяв n=B,			получим оценку остаточного члена:
	Rs<	;	1	-3 < 10-2.

При х=	1	получим формулу,		позволяющую				найти
значение	числа е:				+
		е= 1+1+	l			1	+ ... +	l	;
						31		81
		21

приближенное

производя

вычисления

в

десятичных

дробях

с

шестью*)

десятич­

ными знаками,

знаков, найдем

а

затем

округляя результат	до
е=2,71828.

пяти

десятичных

Здесь

поrрешное-ть

не

превосходит

числа

3 91

или

0,00001.

Отметим,

что,	каково бы	ни	было х,		остаточный
	xn+l	0		при	n-+oo,
Rn=(n+l)!.ex-o

ч.Тiен

Действительно,			так как
ванном	х	ограничена		(она
х<О).

0 < 1, то меньшее"

величина при х > О

е

0	х
и

при фиксиро­ меньше 1 при

Докажем,

что,

каково

бы

ни

было

фиксированное

чис.r~:о

х,

xn+l (п+ l)!

-+

О

при

п-+

оо.

Действительно,

1(:~+~!

1-

1;

; .; . "' .:

n~

l

1•

Если х жительное

- фиксированное число N, что

число, то \x\<N.

найдется

такое

целое

поло­

Введем

обозначение

';

1 =

q;

тогда,

заметив,

что

О

<

q

<

1,

можем

написать

при

n=N

+1,

N

+2,

N

+з

и

т.

д.

\

(:•

_+1 )1	1-1	; ; ;'"·•; п~11-
1
= 1;		1·1 ; 1·1 ; 1·	' '	' ·1N х I l·I ;	1· .
		х х	х	х
		<т··гз· ·.. ·N_.-q•q•

'' • 1 :	1·1n~ 1I <
· .. •q=		xN-l	q	n-N+:
		<N-1)1		•

потому

что

\;\=q,

IN~1\<q,

•••t

\п~i\<q,

*)	Иначе суммарная погрешность			округления
тельно	превысить	R8	(например, при		количестве
ошибка	может достичь		величины 5, 10-		).
					5

при расчетах может значи­ слагаемых, равном 10, эrа