Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

126

НЕКОТОРЫЕ

ТЕОРЕМЫ

О

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИЯХ

[ГЛ.

IV

не обращается. Это происходит оттого, что внутри
существует точка х= О,	в которой	производная не

промежутка существует

(обращается График,

в бесконечность).

изображенный на

рис.

94,

дает

нам

еще

один

пример

функции, производная
[О,	2].
	Для	этой	функции

которой также

не не

обращае,тся выполнены

в нуль на	отрезке
услови11	теоремы

Ролля,

так

как

в

точке

х

=

1

функция

не

имеет

производной.

§

2._

Теорема

о

конечных

приращениях

(теорема

Лагранжа)

Теор

ем

а

Лагранж

а.

Если

функция

f

(х)

непрерывна

на

отрезке [а, Ь]		и		дифференцируема
этого	отрезка,	то			внутри отрезка
мере	одна точка		с,		а < с < Ь, что

во [а,

всех внутренних Ь] найдется по

точках крайней

т.

	f(b)-f(a)=f' (с)			(Ь-а).
Доказательство.		Обозначим буквой			Q
е.	положим		= f (b)-f (а)
		Q
			Ь-а	1

число

	(1)
f(b)-f(a)
Ь-а	'
	(2)

и	рассмотрим
равенством

вспомогательную	функцию F (х),
F (х) = f (x)-f	(а)-(х-а) Q.

определенную (3)

Выясним

геометрический

смысл

функции

F

(х).

Для

этого

на­

пишем сначала уравнение хорды АВ

угловой коэффициент равен f (Ь~=~(а)

(рис. = Q

95), учитывая, что ее
и	что_ она	проходит

через

точку

(а;

f

(а))~

y-f

(а)=

Q

(х-а),

отсюда

У=

f

(а)+

Q

(х-а).

Но F дого.

(х) = f (x)- значения х

[f (а)+ Q (х-а)1 Следовательно, F (х) для

равняется разности ординат кривой у= f

каж­ (х) и

хорды у= f (а)+ Легко видеть,

Q (х-а)	для точек с
что F (х)	непрерывна

одинаковой на отрезке

абсциссой. [а, Ь], диффе­

ренцируема отрезка, т.

внутри е. F (а}

этого отрезка

= О, F (Ь) =О.

и обращается в Следовательно,

нуль на концах

к функции F (х)

применима существует Значит, F'

теорема Ролля. Согласно		этой теореме
точка х = с такая,	что F'	(с)= О.	Но	F'
(с)= f' (c)-Q = О,	откуда	Q = f'	(с).

внутри (х) = f'

отрезка (x)-Q.

Подставляя

значение

Q

в

равенство

(2),

будем

иметь:

f

(Ь1=~

(а)

=

f'

(с),

(1

')

531

ТЕОРЕМА

ОБ

ОТНОШЕНИИ

ПРИРАЩЕНИЙ

ДВУХ

ФУНКЦИЙ

127

откуда

непосредственно

следует

формула

(1).

Таким

образом,

теорема

доказана.

Чтобы

выяснить

геометрический

смысл

теоремы

Лагранжа,

обратимся к рис. 95. Из рисунка	непосредственно
чина f (Ьt=~(а) представляет собой	тангенс угла а

ясно, что вели-

наклона хорды,

проходящей через			точки		А и	В графи-
ка с	абсциссами а		и Ь.
С	другой стороны,			f'	(с)	есть	тан-
генс	угла наклона		касательной к				кри­
вой	в	точке с абсциссой			с. Таким		об-
разом,		геометриче~кий		смысл		равенства
(1') или равносильного				ему равенства (1)

у

f{Ь}

состоит в			следующем:			если во всех точ­
ках дуги			АВ		существует		касательная,
то	на	этой		дуге найдется			точка	С меж-
ду	А	и В,		в	которой	к а с ат е		л ь н а я

ll

:r:

п

а р

а

л

л

е

ль

н

а

х

о

р

де,	соединяющей

точки А 1{ В.

Заметим, далее,

следующее.

Так

как

значение

;

удовдетво­

ряет	0	ус.т~овию а< с< Ь, то
где		есть	некоторое число,
О<	0 < 1.		Но тогда с=а+е

с-а< Ь-а,	или	с-а=0		(Ь-а),
заключенное	между		О и	1,	т. е.
(Ь-а), и формуле		(1)	можно		при­

дать

следующий

вид:

f

(b)-f

(а)=

(b-a)f'

[а+0(Ь-а)],

О<

в<

1.

(l")

§

з~

Теорема

об

отношении ('rеорема

приращений Коши)

двух

функций

Теорем ры,вные на

а К о ш отрезке

и. Если

[а, Ь]

f и

(х) и q, (х) -две функции, дифференцируемые внутри

непре­ него,

причем внутри

q>' (х) нигде внутри отрезка

отрезка [а, Ь] 1Шйдется такая

не обраща,ется в

точка х = с, а <

с

нуль, <Ь,

то что

f ер

(b)-f (Ь)-tр

(а) (а)

=

f' tp'

(с) (с)

•

(1)

До

к

аз

ат

ель

ст

в

о.	Определим число
Q	f (Ь)-f	(а)
	ер(Ь)-11'	(а)	•

Q

равенством

(2)

Отметим,	что	ер (Ь) -q,
равнялось	бы	ср(а), и
обращалась бы в нуль

(а):#= О,	так как
тогда до теореме
внутри	отрезка,

в противном случае	q, (Ь)
Ролля производная	tp' (х)
что противоречит условию

теоремы. Составим

вспомогательную

функцию

F

{х)

=

f

(х)

-

f

(а)

-

Q

[

q>

(х)

-

q,

{а)].

128

НЕКОТОРЫЕ

ТЕОРЕМЫ

О

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИЯХ

(rJ{.J:V

Очевидно, ния функции

что F (а) = О и F (Ь) F (х) и определения

= О (это вытекает из
числа Q).	Заметив,

определ~­ что функ­

ция

F

(х)

удовлетворяет

на

отрезке

[а,

Ь]

всем

условиям

теоремы

Ролля, заключаем, что между а

х= с (<l <с< Ь), что F' (с)= О.

и Ь Но

существует F' (х) = f' (х)

такое
-	Q(p'

значение
(х),	еле-

довательно,

F'

(с)=/'

(с)

-

Q!p'

(с)=

О,

откуда

Q

=

f' «р'

(с) (с)

•

nодставляя значение Q

3 амеч ан и е. Теорему

в равенство (2), получим равенство (1).

Коши нельзя доказать, как это может

показа'tЬся

с

первого

вsгляда,

применением

теоремы

Лагранжа

к

числителю

и

знаменателю

дроби

f (b)-f q>{b)-<p

(а) (а)

•

Действительно, дроби на Ь-а)

мы	получили бы	в	этом случае
формулу
	f (Ь)-f (а)		f' (с1)
	«р (Ь)-<р (а)	= <р' (с2)		'

(после

сокращения

в	которой
~i =f=. с2		,	то
l\ОШИ,

а< ci < Ь, полученный

а< с2 < Ь. результат,

Но так очевидно,

как, вообще	говоря,
не дает еще	теоремы

§

4,

Предел отношения двух бесконечно малых

( «раскрытие неопределенностей вида ~»)

величин

Пусть функции f
.летворяют	условиям
х=а этого	отрезка,
Отношение ; \~

(х)	и (J) (х) на некотором отрезке [а,			Ь]		удов­
теоремы Коши		и обращаются в	нуль		в	точке
т.	е. f(a)=O и	(р(а)=О.	имеет		вполне
не	определено	при х= а, но

определенный смысл при быть поставлен вопрос о

значениях x=f=. а. Следовательно, может разыскании предела этого отношения

при х- а. Вычисление	пределов такого				типа
	u		о	».
«раскрытием неопределенностеи		вида	0

называется

обычно

С	такого рода задачей мы уже						имели дело и раньше,
				.		sfn	х
при	рассмотрении предела			1	-- , при нахождении
				1m
				х-+ О		х	sinx
		ф		u		В		при
ных	от элементарных		ункции.				ыражение -х-

например производ­

х=	0	не

имеет смысла,

т.

е.

функция

F

(х)

=

~ х

не

определена

при

х=О,

ПРЕДЕЛ

ОТНОШЕНИЯ:

ДВУХ

БЕСI(ОНЕЧНО

МАЛЫХ

129

но

мы

видели,

что

предел

выражения

sln х -х-

при

х-+

О

существует

и

равняется

1.

Теорема

(правило

Лопиталя).

Пусть

функции

f(x)u

ср(х)	на некоrrwром отрезке		[а, Ь]	удовлетворяют		условиям
ремы	Коши	и обращаются	в нуль		в rrwчкe х =	а, т. е.	f
=q> (а)=О;		тогда, если существует			предел отношения ;, \1)

тео­ (а)= при

Х-+

а,

то

существует	и	lim	f	((х)) ,		причем
		х а	ер		х	1:
	lim	f (х)	=		lim		(х)	•
« а ер (х)					х-+а	ер	(х)

До точку

к аз ат ель ст в о. Возьмем на отрезке [ x=I= а. Применяя формулу Коши, будем

а, Ь] какую-нибудь иметь

f

(x)-f

(а)

f'

(s)

ер

(х)-ер

(а)

ер'

(s) '

где~

лежит

между

а

и

х.

f ер

Но по условию
(х)	f' (s)
(х) = ер' (-s)

f

(а)=

q>

(а)=

О,	значит
	(1)

Если	Х-+ а,		то	и	~-+ а,
При этом,		если	lim		:	((х)) =
					1
			Х й		ер		Х
равен А.		Отсюда		ясно,			что
lim f (х)			=	lim			f' (s)
х	•	а ер (х)		х •	а		ер' (s)

так как ~			заключено				между		х	и
А,	то	lim	f', ((~)		также			существует
		~ а	ер	\,
=	lim	f' (s)		=	lim	f'	(х)	= А
	s -+-	а ер' (s)		х -+- а		ер'	(х)		,

а. и

и

окончательно

3 а меч а н и е

функции f (х) или

	lim f (х)	= lim f' (х)	·
	х -+- а ер (х)	х-+- а ер' (х)
1.	Теорема	имеет место	и
q> tx) не определены при

в том случае, если

х=а, но lim f tx)=O,

l1m ср (х) =-= О.
/Х	й
	Для того чтобы		свести этот	случай
·мы	доопределяем функции			f (х)	и
чтобы они		стали непрерывными			в
статочно		положить	f (а)= lim f (х) =		О,

х-+- а

к рассмотренному ранее,
ср(х) в	точке	х=а так,
точке	а. Для	этого до­
ер (а)=	lim ср (х) = О, так

как,

очевидно,

предел

х а отношения;~;~

при

х~а х- а

не

зависит

от q>'

того, определены		ли· функции f (х)		и <:р (х)	в	точке	х = а.
3	а меч ан и е 2.	Если	f' (а)= ер' (а)= О и прои3водные f'					(х)	и
(х)	удовлетворяют	тем	условиям,	которые		были	наложены

5

Н.

С.

Пискунов,

т.

1