- •Глава 5. Свойства горных пород как характеристики связи напряжений и деформаций
- •5.1. Обобщенный закон Гука и энергия упругого деформирования
- •5.1.1. Представление обобщенного закона Гука в матричном виде
- •5.1.2. Термодинамика упругого деформирования
- •5.1.3. Использование свойств симметрии для определения количества модулей упругости (на примере минералов кубической системы)
- •5.2. Закон Гука для изотропных пород
- •5.2.1. Упругие модули изотропных горных пород
- •5.2.2. Связь между пористостью и модулем Юнга
- •5.2.3. Работа деформирования упруго-пластичных изотропных пород
- •5.3. Закон Гука для анизотропных горных пород и массивов
- •5 .3.1. Трансверсально-изотропные среды
- •5.3.2. Усреднение упругих модулей (на примере трансверсально-изотропной среды)
- •5.3.3. Ортотропные среды
- •5.4. Методы определения упругих модулей
- •5.5. Реологические свойства пород
- •5.6. Механические модели пород
5.1. Обобщенный закон Гука и энергия упругого деформирования
Обобщенный закон Гука устанавливает линейную связь между всеми компонентами тензора деформаций и тензора напряжений одновременно. Главная особенность такой связи заключается в масштабе изменения компонент тензора деформаций и компонент тензора напряжений. На практике для самых упругих пород с достаточно хорошим приближением линейность сохраняется при одновременных изменениях напряжений и относительных деформаций от нуля до нескольких десятков мегапаскаль и от нуля до нескольких тысячных долей единицы, соответственно.
Следует сделать одно важное замечание относительно применимости обобщенного закона Гука к горным породам. Использование математического аппарата для исследования напряженно-деформированного состояния, строго говоря, справедливо для сплошных сред. Поэтому для горных пород должно оговариваться условие, при котором наличие несплошности (пористость, трещиноватость) не приводит к заметному влиянию на линейность связи между напряжениями и деформациями. Обычно это условие сводится к установлению минимального объема горной породы, для которой удовлетворительно выполняется закон Гука.
Общий вид закона Гука легко получить из следующих соображений. Поскольку свойству упругости соответствует линейная связь двух тензоров 2-го ранга, то совокупность упругих констант должна образовывать тензор 4-го ранга (два индекса соответствуют искомой величине, по двум индексам производится суммирование). Поэтому можно записать следующие выражения
или , (5.1)
где - тензор модулей упругости, - тензор модулей податливости. Выражения (5.1) являются компактной математической записью обобщенного закона Гука.
Для того чтобы получить значение напряжения, например, - надо вычислить следующую сумму
.
Легко видеть, что тензор модулей упругости и тензор модулей податливости содержат по 81 компоненте (34 = 81). Симметричность тензоров напряжений и деформаций приводит к тому, что количество независимых модулей упругости (податливости) сокращается до 36, так как остается 6 уравнений, включающих по 6 слагаемых. Поэтому тензор модулей упругости (податливости) является симметричным относительно перестановки индексов в парах , модулей и т.е. , , , .
5.1.1. Представление обобщенного закона Гука в матричном виде
Уравнения (5.1) обычно записывают в матричном виде согласно следующим схемам перехода и обозначениям
; ;
для - и пары индексов - и в соответствии с таблицей
Тензорные обозначения ( )
,
,
,
Матричные обозначения ( )
1
2
3
4
5
6
для модулей податливости вводятся множители по правилам: , если - и равны 1, 2 или 3; , если или - , или равны 4, 5 или 6; , если и - и равны 4, 5 или 6.
В соответствии с правилами матричных обозначений обобщенный закон Гука записывается в виде
и ( ). (5.2)
В развернутом виде уравнения (5.2) примут вид
и . (5.3)
Важно заметить, что модули - и , представленные в виде квадратных таблиц в (5.3), на самом деле тензорами 2-го ранга не являются, так как они связывают два тензора, представленные в матричном виде. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, столбцы и квадратные матрицы в (5.3) заключены в круглые скобки. Из анализа уравнения (5.3) следует, что матрица модулей упругости равна обратной матрице модулей податливости, т.е. .
Легко убедиться в необходимости множителей для модулей податливости. Например, запишем в развернутом виде суммы для -
(в тензорном виде),
(в матричном виде). Откуда после сокращения на множитель и упорядочения слагаемых получим
,
что соответствует (5.2) и (5.3).