§5. Краткий обзор геометрии пространства a4.

Определение. Пусть даны точка A и вектор a. Прямой проходящей через точку A в направлении вектора a называется множество точек

l = {M| AM;\s\up10( –(= ta, tR}. (8)

Определение. Пусть даны точка A и два неколлинеарных вектора a и b. Плоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов a и b называется множество точек

 = {M| AM;\s\up10( –(= ua+vb, u,vR}.

Определение. Пусть даны точка A и три линейно независимых вектора a, b, c. Тогда множество точек

 = {M| AM;\s\up10( –(= a+b +c, ,,R}.

называется гиперплоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов a, b, c.

Заметим, что каждую прямую можно рассматривать, как одномерное аффинное пространство, плоскость – как двумерное, гиперплоскость – как трехмерное. Например, пусть M₁, M₂, т.е.

AM1;\s\up10( –(= ₁a+₁b +₁c, AM2;\s\up10( –(= ₂a+₂b +₂c.

Тогда

M1M2;\s\up10(––( = AM2;\s\up10( –( – AM1;\s\up10( –(= (₁–₂)a+(₁–₂)b +(₁–₂)c.

Таким образом, каждой паре точек M₁, M₂ соответствует вектор M1M2;\s\up10(––(. И этот вектор однозначно раскладывается по трём линейно независимым векторам a, b, c. Значит, a, b, c образуют базис B₁={a, b, c} в аффинном пространстве , и M1M2;\s\up10(––((₁–₂, ₁–₂, ₁–₂) в этом базисе. Четверка R ={A^, a, b, c} образует репер и, например, M₁(₁, ₁, ₁)_R .

Предложение 1. Каковы бы ни были две различные точки A, B существует и, притом, единственная прямая l, проходящая через эти точки.

Действительно, это будет прямая, которая проходит через A в направлении вектора AB;\s\up10( –(: l = {M| AM;\s\up10( –(= tAB;\s\up10( –(, tR}. Очевидно, что при t=0 получим точку A, а при t=1 получим точку B. Будем писать l =AB.

В дальнейшем координаты точек, в отличие от координат векторов, будем обозначать большими буквами.

Если A(X₁^o, X₂^o, X₃^o, X₄^o), a(a₁, a₁, a₁, a₄), то прямая (8 ) задается каноническим уравнением

= = =

или параметрическими уравнениями

X₁= X₁^o+ a₁t,

X₂= X₂^o+ a₂t,

X₃= X₃^o+ a₃t,

X₄= X₄^o+ a₄t.

Предложение 2. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C существует и, притом, единственная плоскость , проходящая через эти точки.

Действительно, это будет плоскость, которая проходит через A в направлении векторов AB;\s\up10( –( и AC;\s\up10( –(:  = {M| AM;\s\up10( –(= uAB;\s\up10( –( + vAC;\s\up10( –(, u,vR}. Очевидно, что при u=1, v=0 получим точку A, а при u=0, v=1 получим точку B.

Предложение 3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C существует и, притом, единственная гиперплоскость , проходящая через эти точки.

Упражнение. Докажите это самостоятельно.