§3. Касательная прямая. Нормальная

плоскость кривой.

Определение. Пусть  – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем близкую к ней точку Q. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q ^– P стремится занять определенное положение l, то секущая прямая l называется касательной к кривой  в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть  – некоторая кривая, P – точка на ней, а l – некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку Q. Обозначим d = PQ ,  – расстояние от Q до l. Если Combin = 0, то прямая l называется касательной к кривой  в точке P.

Теорема 1. Гладкая регулярная кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.

Доказательство. Пусть c(t) – гладкая регулярная параметризация кривой , P = c(t_o), Q = c(t) – близкая к P точка. Тогда

PQ;\s\up10( –( = c(t) – c(t_o) , d = PQ;\s\up10( –( = c(t) – c(t_o) .

Пусть l – некоторая прямая, проходящая через P,  – единичный направляющий вектор этой прямой, а  – угол между  и PQ;\s\up10( –(. Тогда

 = dsin  = PQ;\s\up10( –(   sin  = PQ;\s\up10( –( ,

(мы домножили на   , т.к.   =1). Отсюда

= = = .

Перейдем в этом равенстве к пределу при d ^– 0  t ^– t_o :

lim;\s\do9(t ( to = .

З начит, равенство нулю этого предела равносильно c(t_o) = o;\s\up8(–(   c(t_o)   . Таким образом, прямая l будет касательной  вектор c(t_o) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то c(t_o)  o;\s\up8(–( , и касательная прямая существует и однозначно определяется этим вектором и точкой P = c(t_o).

Пусть кривая  задана уравнением r;\s\up8(–( = c(t). Из теоремы вытекает, что касательная к , проходящая через точку P(x_o, y_o, z_o) = c(t_o), задается уравнением

= = ^. (1 )

Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).

Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:

(x, y) = 0. (2)

Пусть r;\s\up8(–( = c(t) – параметрическое уравнение этой же кривой 



x = c₁(t),

y = c₂(t).

Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:

(c₁(t), c₂(t))  0.

Продифференцируем его по t :

c₁ (t) + c₂ (t) = 0. ()

Обозначим grad  = ( , ) . Тогда равенство () равносильно

(grad ) · c(t)  0.

Это означает, что в каждой точке P=c(t_o), на кривой  вектор градиента

grad_P, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c(t_o), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:

(x – x_o) + (y – y_o) = 0, (3)

где все производные вычисляются в точке P(x_o, y_o).

Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y – f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной

y – y_o = f (x_o)(x – x_o). (4)

Определение. Любая прямая, проходящая через точку P, перпендикулярно касательной к кривой  в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве – то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой  в точке P.

Пусть r;\s\up8(–( = c(t) – параметрическое уравнение кривой, P(x_o, y_o, z_o) = = c(t_o). Тогда вектор c(t_o) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит её уравнение

c₁ (t_o) (x – x_o) + c₂ (t_o)(y – y_o) + c₃ (t_o)(z – z_o) = 0. (5)

Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:

c₁ (t_o) (x – x_o) + c₂ (t_o)(y – y_o) = 0.

Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор grad_P будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали:

= .