§3. Группа преобразований.

Определение. Пусть G – некоторое множество преобразований плоскости или пространства. Введем на этом множестве операцию умножения преобразований – их композицию: f ·g = f  g. Если G относительно этой операции образует группу G, ·, то G называется группой преобразований плоскости.

Напомним аксиомы группы:  f , g, h  G

1. (f ·g)· h = f ·(g· h) – ассоциативность умножения;

2.  e G такой что e·f = f·e = f – существование единичного

элемента;

3.  f ^–1 G такой что f · f ^–1= e – существование обратного

элемента.

В параграфах 1 и 2 мы показали, что все рассмотренные выше множества преобразований удовлетворяют этим аксиомам, а значит, образуют группы.

Определение. Пусть G, · – группа, а H  G – некоторое подмножество. Тогда H называется подгруппой группы G, если относительно операции «· » сама H является группой.

Пусть G – группа преобразований плоскости, а H  G. Для того, чтобы проверить, что H является подгруппой в G, необходимо убедиться в следующем:

1. композиция двух преобразований из H тоже

2. тождественное преобразование id :  ^–  принадлежит H ;

3.  f H обратное преобразование f ^–1 тоже принадлежит H .

Ассоциативность будет выполняться автоматически, т.к. H – подмножество в группе G.

Обозначим A(2) – группа аффинных преобразований, SO(2) – группа поворотов, P(2) – группа параллельных переносов, S(2) – группа симметрий на плоскости относительно Ox, E(2) – группа всех движений плоскости, П(2) – группа подобий. Тогда SO(2), P(2), S(2) являются подгруппами в E(2), E(2) – подгруппой в П(2), П(2) – подгруппой в A(2). Также мы можем сказать, что SO(2), P(2), S(2) являются подгруппами в П(2) и подгруппами в A(2).

Заметим, что S(2) состоит только из двух элементов: id и s₁ .

Обозначим O(2) – группа, которую образуют все повороты, симметрии и их композиции. Она называется ортогональной группой, а SO(2) называется специальной ортогональной группой.

Рассмотрим теперь только те преобразования плоскости, которые оставляют на месте начало координат. Каждое такое преобразование задается матрицей. При этом, композиции преобразований соответствует произведение их матриц, тождественному преобразованию – единичная матрица, а обратному преобразованию – обратная матрица. Поэтому матрицы, соответствующие таким преобразованиям тоже образуют группы, которые мы тоже будем обозначать теми же буквами.

Например, SO(2) состоит из матриц вида

cos  – sin 

sin  cos  ,

O(2) включает в себя ещё матрицы вида

cos  – sin 

sin  cos  .

Произвольное аффинное преобразование, оставляющее начало координат на месте, задается квадратной матрицей A порядка 2 с det A  0. Такие матрицы образуют специальную линейную группу SL(2) или SL(2, R). Симметрия относительно Oxy задается матрицей .

Определение. Пусть G₁, · и G₂,  – две группы. Биекция : G₁^– G₂ называется изоморфизмом групп G₁ и G₂, если  g, h G₁ выполнено

(g) (h) = f (g·h) , (g^–1) = (g)^–1.

Другими словами, изоморфизм групп сохраняет групповую операцию: элементы в группе G₁ перемножаются по тому же закону, что и их образы в группе G₂. Поэтому, с точки зрения алгебры изоморфные группы устроены одинаково.

Мы установили, что каждая из рассмотренных выше групп преобразований плоскости, оставляющих на месте начало координат, изоморфна какой-либо матричной группе.

Замечание 1. Этот факт касается только групп, являющихся подгруппами в A(2). Для произвольных групп преобразований плоскости это неверно.

Замечание 2. Все сказанное в этой главе с небольшими изменениями переносится на преобразования пространства. Например, группа всех аффинных преобразований пространства A(3) состоит из всех преобразований вида

х= а₁₁х + а₁₂ у + а₁₃ z + а₁,

у= а₂₁х + а₂₂ у + а₂₃ z + а₂,

z= а₃₁х + а₃₂ у + а₃₃ z + а₃,

где  = det(a_ij)  0. Преобразования, оставляющие неподвижным начало координат, образуют группу, изоморфную матричной группе SL(3, R), которая состоит из всех невырожденных квадратных матриц третьего порядка с действительными коэффициентами. Группа всех поворотов пространства изоморфна группе SO(3), состоящей из ортогональных матриц (Q^Т = Q^–1 ) третьего порядка с det Q =1. Осевая симметрия в пространстве сводится к повороту, поэтому симметриями будем называть симметрии относительно плоскости. Симметрия относительно Oxy задается матрицей

–1 0 0

0 1 0

0 0 1

Определение. Преобразование плоскости или пространства f :  ^–  называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение векторов; т.е. a1;\s\up8(–( =f(a;\s\up8(–( ), b1;\s\up9(–( =f(b;\s\up9(–( )  a1;\s\up8(–( ·b1;\s\up9(–( = a;\s\up8(–(·b;\s\up9(–(.

Очевидно, что повороты плоскости (или пространства) и симметрии сохраняют длины векторов и угол между векторами. Следовательно, они сохраняют скалярное произведение векторов. Примем без доказательства, что произвольное ортогональное преобразование является композицией поворота и симметрии и задается ортогональной матрицей. Группа всех ортогональных преобразований пространства изоморфна группе всех ортогональных матриц порядка 3. Она обозначается O(3).