Глава 6. Аффинное и евклидово пространство

Что такое геометрическое трехмерное пространство мы можем себе представить наглядно. Что такое четырехмерное пространство представить себе трудно: в окружающей нас повседневной реальности оно не существует. В этой главе мы дадим аксиоматическое определение пространства произвольной размерности и рассмотрим некоторые факты из геометрии четырехмерного пространства.

В параграфах 1, 2, 3 мы коротко напомним материал из курса алгебры.

§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.

Определение. Пусть L – произвольное множество, для элементов которого заданы две операции: сложение элементов и умножение элемента на число, так что x, y, z  L и , R выполнено x + y L , x L , и имеют место следующие аксиомы.

А1. x + y = y + x (коммутативность сложения);

A2. (x + y) + z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);

A3.  o  L такой что x + o = x (существование нулевого элемента);

A4. (–x) L такой что x + (–x) = o (существование противоположного элемента);

A 5. (x + y) = x + y

A6. ( + )x = x+ x

A7. ()x = (x) ;

A8. 1·x = x .

Тогда L вместе с этими операциями называется линейным или векторным пространством, а его элементы – векторами.

Примеры. 1. Пространство V², состоящее из всех векторов на плоскости или V³, состоящее из всех векторов геометрического пространства. Тогда А1 – A8 представляют собой свойства операций над векторами, которые мы доказывали в главе 1.

2. Арифметическое пространство R³, элементами которого являются тройки чисел. Мы будем записывать эти тройки в виде столбца:

x₁

R³= x₂ x₁, x₂, x₃ R

x₃

Операции определяются следующим образом. Если

x₁ y₁

X = x₂ Y = y₂

x₃ y₃

то

x₁+ y₁ x₁

X +Y = x₂ + y₂ X = x₂

x₃ + y₃ x₃

Проверим, что в данном пространстве выполняются аксиомы А1 – А8.

Проверим, например, А5.

x₁+ y₁ x₁+ y₁ x₁ y₁

(X +Y ) =  x₂ + y₂ = x₂ + y₂ = x₂ + y₂ = X +Y.

x₃ + y₃ x₃ + y₃ x₃ y₃

Роль нулевого элемента и элемента, противоположного к X очевидно, играют

0 – x₁

O = 0 – X = – x₂ ,

0 – x₃

т.е выполнены А3 и А4.

Аналогично определяется пространство Rⁿ состоящее из столбцов высоты n .

Упражнение. Проверьте самостоятельно, что выполняются остальные аксиомы.

3. Пространство P_n состоит из всех многочленов с действительными коэффициентами, степени не превосходящей n:

P_n = {a_o+ a₁t + a₂t² +…+ a_nt ⁿ | a_o, a₁,…, a_nR}

4. Пространство C^o([0,1]) состоит из всех функций, непрерывных на отрезке [0,1].

Можно привести ещё массу примеров. Главное – уяснить себе, что векторное пространство может состоять из совершенно любых математических объектов, которые можно складывать и умножать на число, если, конечно, выполняются А1 – А8. При изучении дальнейшего материала, для простоты восприятия, можно представлять себе, что речь идет о векторах.

Из аксиом А1 – А8 можно вывести следующие следствия:

1), 2) единственность нулевого и противоположного элементов;

3) 0·x = o ; 4) –1·x = –x ; 5) ·o = o xL и R.

Определение. Пусть x₁, x₂,…, x_nL – произвольные векторы, а ₁, ₂,…, _n – произвольные числа. Тогда выражение

₁x₁+ ₂x₂ +…+ _nx_n (1)

называется линейной комбинацией векторов x₁, x₂,…, x_n. Числа ₁, ₂,…, _n называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация (1) называется тривиальной, если ₁= ₂ =…= _n = 0. Соответственно, (1) называется нетривиальной, если среди ₁, ₂,…, _n есть хотя бы одно ненулевое число.

Определение. Векторы x₁, x₂,…, x_n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:

₁x₁+ ₂x₂ +…+ _nx_n = o. (2)

Соответственно x₁, x₂,…, x_n называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно только для тривиальной комбинации векторов.

Примеры. 1. Векторы i, j, k в пространстве V³ линейно независимы, а векторы a₁=i+j, a₂=i+j+k, a₃=k линейно зависимы, т.к. 1·a₁+(–1)·a₂+1·a₃ =o.

2. В пространстве R³ столбцы

1 0 0

E₁ = 0 , E₂ = 1 , E₃ = 0

0 0 1

линейно независимы. Действительно,

₁ 0

₁E₁+ ₂E₂ +₃E₃ = O  ₂ = 0  ₁= ₂ =…= _n = 0.

₃ 0

x₁

Если к ним добавить произвольный столбец X = x₂ , то получим

x₃

линейно зависимую систему столбцов {E₁, E₂, E₃, X}, т.к.

1·E₁+ 1·E₂ +1·E₃ + (–1)·X = O.

3. В пространстве P_n многочлены 1, t, t²,…, t ⁿ линейно независимы. Если к ним добавить любой многочлен f(t) степени n, то получим линейно зависимую систему.

Упражнение. Самостоятельно покажите, что функции f(t)1, g(t) = cos t, h(t) = sin 2t в пространстве C^o([0,1]) линейно зависимы.

Предложение 1. Векторы x₁, x₂,…, x_k, k>1, линейно зависимы, тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть векторы x₁, x₂,…, x_k линейно зависимы, и

₁x₁+ ₂x₂ +…+ _kx_k = o,

где, например, _k0. Тогда

x_k = x₁+ x₂ +…+ x _k–1,

т.е. x_k является линейной комбинацией x₁, x₂,…, x_k–1.

Обратно, если x_k = ₁x₁+ ₂x₂ +…+ _k–1x _k–1, то

₁x₁+ ₂x₂ +…+ _k–1x _k–1+ (–1)x_k = o,

и комбинация нетривиальная, т.к. –10.

Предложение 2. Если среди векторов x₁, x₂,…, x_k есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Действительно, если, например, x_k = o, то

0·x₁+ …+ 0·x _k–1+ 1·x_k = o,

и комбинация нетривиальная, т.к. 10.