Глава 5. Группы преобразований

§1. Движение и подобие на плоскости.

Определение. Преобразованием множества M называется биекция f : M ^– M (т.е. взаимнооднозначное отображение множества M на себя).

Определение. Пусть  – это плоскость. Преобразование f :  ^–  называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками; т.е. если A= f (A), B = f (B), то |AB | = |AB| .

В школе вы изучали следующие виды движений.

1) параллельный перенос; 2) поворот; 3) симметрия относительно прямой (центральная симметрия – это поворот на 180).

1. Произвольный параллельный перенос p₁:  ^–  задается вектором a;\s\up8(–((a₁, a₂). Eсли A= p₁(A), то AA(;\s\up10( –(= a;\s\up8(–( . Формулы параллельного переноса:

(1)

x= x + a₁ ,

y= y + a₂ .

Они означают, что точка A(x, y) переходит в точку A(x, y), координаты которой вычисляются по данным формулам.

Если p₂:  ^–  – другой перенос, который задается вектором b;\s\up9(–((b₁, b₂), и A= p₂(A), то



x= x + b₁ , x= x + (a₁+ b₁) ,

y= y + b₂ . y= y + (a₂+ b₂) .

Значит композиция (т.е. последовательное выполнение) параллельных переносов p₂ p₁:  ^–  задается вектором a;\s\up8(–( + b;\s\up9(–( . Кроме того, очевидно, что p₂ p₁₌ p₁ p_{2 , т.е.} p₂(p₁(A)) = p₁(p₂(A)) для любой точки A на плоскости. Говорят, что p₁ и p_{2 коммутируют между собой.}

_{Обратное преобразование} p₁^–1 :  ^–  , очевидно, задается вектором – a;\s\up8(–( , а тождественное преобразование плоскости id :  ^–  тоже представляет собой параллельный перенос, который задается нулевым вектором.

2. Поворот на угол  вокруг начала координат h_ :  ^–  действует по формулам

(2)

x= xcos  – ysin ,

y= xsin  + ycos .

Эти формулы можно переписать в матричном виде:

(2)

X= H_X ,

где

X = Combin , X= Combin , H_ = sin ( cos (;\s\up10 (cos ( – sin ( .

Если h_ :  ^–  – поворот на угол , то очевидно, что h_ h_ = h_ h_ = = h_+ .

Упражнение. Самостоятельно убедитесь, что H_+ = H_ ·H_ = = H_ ·H_.

Таким образом, при последовательном выполнении поворотов их матрицы перемножаются. Мы также видим, что два поворота коммутируют между собой. А, вот, поворот и параллельный перенос не коммутируют.

Е сли  = 0, то H_ = E = 0 1;\s\up10 (1 0 . Очевидно, что обратный поворот – это поворот на угол – , т.е. (h_)^–1= h_– . Он задается матрицей

H_– = –sin ( cos (;\s\up10 ( cos ( sin ( .

Упражнение. Самостоятельно убедитесь, что H_– ·H_ = E, т.е. H_–=(H_)^–1. Это значит, что обратный поворот задается обратной матрицей.

3. Симметрия s₁ относительно оси Ox задается формулами

(3)

x= x ,

y= – y .

В

(3)

матричном виде их можно записать так:

X= S₁X ,

где

S₁ = 0 –1;\s\up10 (1 0 .

Аналогично, симметрия относительно Oy задается матрицей

S₁ = 0 –1;\s\up10 (1 0 .

Из школьной программы вы знаете, что любое движение плоскости является композицией параллельного переноса, поворота и осевой симметрии.

4. Определение. Преобразование g :  ^–  называется подобием, если  A, B   и для A= g(A), B= g(B) выполнено |AB| = k|AB| , где k = const > 0. Тогда k называется коэффициентом подобия.

Гомотетией с центром в начале координат называется подобие g_k :  ^–  , которое действует по формулам:

(4)

x= kx,

y= ky .

На следующих рисунках показано, как строится  ABC гомотетичный данному  ABC с коэффициентами 2 и –2.

Произвольное подобие является композицией гомотетии и движения. Формулы (4) можно записать в матричном виде так:

(4)

X= _k X ,

где

_k = 0 k;\s\up10 (k 0 .

Очевидно, что g_l  g_{k =} g_k g_{l =} g_{kl и} _l _{k =} _k _{l =} _{kl , т.е. две гомотетии с центром в начале координат коммутируют, и композиции гомотетий соответствует произведение их матриц.}

Тождественное преобразование представляет собой гомотетию с k = 1. Преобразованием, обратным к g_k является g_1/k .

Замечание. Удобно использовать обозначение

_ = 0 e(;\s\up10 (e( 0 .

Тогда

__ = 0 e(;\s\up10 (e( 0 0 e(;\s\up10 (e( 0. = 0 e(+(;\s\up10 (e(+( 0 = _+ .

Также _^–1 = _– . Поэтому g_  g_{ =} g_  g_{ =} g_+ , g_^–1 = g_– . Но таким образом можно задать только гомотетию с положительным коэффициентом. Для того, чтобы получить гомотетию с отрицательным коэффициентом необходимо добавить еще центральную симметрию, т.е. поворот на 180.

Легко проверить, что при последовательном выполнении поворота, симметрии и гомотетии, оставляющих неподвижными начало координат, их матрицы перемножаются. Например, g_k s₁ h_ задается матрицей _k S₁ H_ . Это же верно и при выполнении данных преобразований в любом другом порядке.