§3. Евклидово векторное пространство.

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x и y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы.  x, y, z L и R

А11. x·y= x·y;

А12. x·(y + z) = x·y+ x·z ;

А13. (x)·y= (x·y);

А14. x·x0 и x·x=0  x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x²=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение Eⁿ означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено

А14.  xL  yL такой что x·y0,

то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.

Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x и y называется такое число , что cos  = . Векторы x и y называются коллинеарными, если  R такое, что y = x .

В силу А14 |x| – действительное число, и |x|=0  x=o. Мы знаем, что |cos |1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

1  |x·y||x|·|y|  (x·y)²|x|²·|y|² 

 (x·y)² (x·x)(y·y) (1)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда  R x + y  o.

Тогда согласно А14  R

(x + y)·(x + y) > 0  ²(x·x) + 2(x·y) + y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной . Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

= (x·x)(y·y) – (x·y)²<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.

2 случай. x||y. Тогда  R такое, что y = x . Подставим это в (1):

(x·x)² (x·x)(x·x)  ²(x·x)²²(x·x)².

Т аким образом, имеет место (1) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (1) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

|x+y||x|+|y| (2)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (1) в виде (x·y)²|x|²|y|² получаем

|x+y|²=(x+y)·(x+y)= x²+2x·y +y² |x|²+2|x|²·|y|²+|y|²=(|x|+|y|)².

Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (2) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (1), т.е. когда x||y.

Определение. Векторы x и y называются ортогональными, если x·y = 0.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если yEⁿ x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14 это равносильно x=o.

Определение. Система векторов {e₁, e₂,…, e_k}Eⁿ называется ортонормированной, если  i, j=1…k выполнено e_i·e_j = _ij, т.е. если все векторы единичные и взаимно ортогональные.

Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ke_k = o.

Выберем произвольное i =1…k и домножим обе части равенства скалярно на e_i :

(₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ke_k) e_i = o·e_i  _i = 0.

П оскольку i было произвольным, то ₁= ₂ =…= _k = 0.

В курсе алгебры доказывается следующая теорема.

Теорема. В Eⁿ существует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов.

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – ОНБ в Eⁿ, x, yEⁿ – произвольные векторы. Пусть x(x₁, x₂,… x_n)_B , y(y₁, y₂,… y_n)_B . Тогда

x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1x_ie_i)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1y_je_j ) = \s\up1(\a\vs11( n;ix_i y_j(e_i·e_j ) =\s\up1(\a\vs11( n;ix_i y_j_ij =\s\up1(\a\vs11( n;i =1 x_i y_i .

Итак,

x·y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n , (3)

т.е. в ОНБ формула для вычисления скалярного произведения такая же, как и в обычном геометрическом пространстве, если координаты заданы в декартовой СК.

Из этой формулы следует, что

|x|= . (4)

Пусть теперь базис B ={f₁, f₂,…, f_n} в Eⁿ не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторов x(x₁, x₂,… x_n)_B , y(y₁, y₂,… y_n)_B ?

Обозначим g_ij = f_i·f_j , и из этих чисел составим матрицу

 = ,

которая называется матрицей Грама базиса B . Она, очевидно, является симметрической: g_ji = f_j·f_i= f_i·f_j = g_ij . Тогда

x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1x_ie_i)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1y_je_j ) = \s\up1(\a\vs11( n;ix_i y_j(e_i·e_j ) =\s\up1(\a\vs11( n;ig_ijx_i y_j . (5)

Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x и y, то (4) можно переписать в матричном виде:

x·y = X^ТY = x₁ x₂ … x_n  . (5)

Если базис ортонормированный, то g_ij = _ij и  = E . Отметим, что для любого базиса det  > 0.

Примеры. 1. Пространство V³ с обычным скалярным произведением векторов: a;\s\up8(–( · b;\s\up9(–( = ^|a;\s\up8(–( ^|b;\s\up9(–( cos( a;\s\up8(–(, b;\s\up9(–( ). Аксиомы А11– А14 представляют собой свойства этого произведения. B ={i , j, k} представляет собой ОНБ.

2. В пространстве Rⁿ для столбцов

x₁ y₁

X = x₂ , Y = y₂ .

 

x_n y_n

определим

X·Y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n . (6)

Упражнение 1. Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11– А14.

Таким образом, Rⁿ со скалярным произведением (6) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы

1 0 0

E₁ = 0 , E₂ = 1 , ..., E_n = 0

  

0 0 1

составляют ОНБ.

Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Lⁿ векторное пространство Rⁿ может служить его моделью. Для этого надо в Lⁿ выбрать базис B и каждому вектору x(x₁, x₂,… x_n)_B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве Eⁿ ОНБ B ={e₁, e₂,…, e_n} и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:

x₁ y₁

x(x₁, x₂,… x_n)_B  X = x₂ , y(y₁, y₂,… y_n)_B  Y = y₂ .

 

x_n y_n

Тогда x·y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что Eⁿ изоморфно евклидову векторному пространству Rⁿ или, что евклидово векторное пространство Rⁿ является моделью пространства Eⁿ.