§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.

П усть  – регулярная кривая, P – любая точка, а Q– близкая к ней точка. Обозначим – угол между касательными к кривой в точках Р и Q, s – длина дуги PQ. Если существует предел

lim;Q (P= k,

то эта величина называется кривизной

кривой  в точке Р. Другими словами, кривизна – это скорость поворота касательной.

Т еорема 4. Регулярная кривая  класса С² в каждой своей точке имеет кривизну. Если r;\s\up8(–( = c(s) – уравнение с естественной параметризацией, то k = |c; ··(s)|.

Доказательство. Пусть Р = c(s), Q = c(s + s), тогда векторы c(s) и c(s + s) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:

|c; ·(s + s) – c; ·(s)| = 2sin .

Отсюда

= = = · .

Перейдем здесь к пределу при s  0.

|c; ··(s)| = lim; Ds (0 ·lim; Ds (0= 1· k ,

т .к. 0 при s0, что и требовалось доказать.

Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то

k = =

Теорема 4. 1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.

2) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна k=k_o= const, то это кривая – окружность радиуса R =1/ .

Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть r; (= c(s) – параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |c; ··(s)|  0  c; ··(s)  o;\s\up8(–( ,

 

где b₁, b₂, b₃ – постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.

Определение. Пусть  некоторая кривая, Р – точка на ней, Q, R – близкие к ней точки; если при Q и R стремящихся к Р окружность  стремится занять определенное положение _o, то окружность _o называется соприкасающейся окружностью к кривой  в точке Р, а ее центр O называется центром кривизны кривой  к точке Р.

П римем без доказательства, что  и ₀ имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса R равна 1/R², то R² = 1/k . Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.

Определение. Пусть  – некоторая кривая, Р – точка на ней, Q – близкая к Р точка, а  – угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и Q, s – длина дуги РQ;. Если существует предел lim;Q(P , то он называется абсолютным кручением кривой  в точке Р и обозначается ||

(греческая буква “каппа”). То есть абсолютное кручение – это скорость поворота соприкасающейся плоскости.

При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р и Q .

Теорема 6. Регулярная кривая  класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой  , то

||  . (1)

Доказательство. Поскольку кривая регулярная, мы можем задать её с помощью естественной параметризации c(s). Тогда c; ·  o;\s\up7(( . В тех точках, где k  0 выполнено c; ·· o;\s\up7((, а при естественной параметризации c; ·· c; ·, значит в этих точках однозначно определена соприкасающаяся плоскость как параллельная этим векторам.

Пусть Р=c(s), Q=c(s+s) – две точки на кривой , (s) и (s+∆s) – единичные векторы бинормали в этих точках, а  – угол между ними. Также как и в доказательстве теоремы 4,

| (s+∆s) – (s)| = 2sin ,  =  ,

Перейдем в этом равенстве к пределу при s  0

|b;·(s)| = lim;∆S(0· lim;∆S(0= 1·|| ,

т.к. при s0 также и  0. Итак, ||= |b;· (s)| .

Т.к. | (s)| = 1, то (s)· (s)  1. Продифференцировав это тождество, получим

2b;·· = 0  b;·  .

Потом,   . Продифференцируем это равенство:

b;· = (;·  +   (;·.

Но = c; ·  (;· =c; ·· ||   (;·   o;\s\up7((. Значит, b;· = (;·  b;·   . Но мы выяснили уже, что b;·  . Значит, b;· ||  и косинус угла между ними равен 1, а также ||=1.Поэтому

|b;··|= |b;·||||cos (b;·,)| = |b;·|=||.

Итак, ||= |b;··| (_*).

Мы знаем, что

  = = , b = = .

Находим, что

b;· = ( )^_s c; ·´c; ·· + (c; ·´c;··· + c; ··´c; ·· ) = ( )^_s c; ·´c; ·· + (c; ·´c;··· ),

т.к. c; ··´c; ·· = o;\s\up7(( . Подставим это в (_*):

||= |(( )^_s c; ·´c; ·· + (c; ·´c;··· )) · |=|( )^_s c; ·c; ··c; ·· + c; · c;···c; ·· |= ,

т .к c; ·c; ··c; ··= 0, и при перестановке сомножителей модуль смешанного произведения не изменяется.

Придадим теперь кручению знак, чтобы выполнялось

= . (2)

Пусть теперь кривая задана уравнением с произвольным параметром. Тогда кручение будет вычисляться по формуле

= (3)

(без доказательства).

Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая – плоская линия (без доказательства).

При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой, где эта кривая регулярна и k  0.