Часть третья. Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине “Математический анализ” и варианты контрольных работ.
Введение
Данная методическая разработка предназначена для студентов заочного отделения специальностей 351400, 060500, 061100. В ней содержатся варианты контрольных работ по математическому анализу, образцы решений типовых заданий и список необходимой литературы. Предусмотрены два типа контрольных работ – для студентов со средним образованием и для студентов, имеющих среднее техническое или среднее профессиональное образование.
Согласно учебным планам для студентов со средним образованием, предусмотрены две контрольные работы, а для студентов со средним профессиональным или техническим образованием – одна. Выполнять работу следует на обычной ученической тетради в клеточку, и сдать на проверку до экзамена. По договорённости с преподавателем, контрольную работу можно выполнять в электронном виде и предоставлять на проверку на дискете или присылать по электронной почте по адресам www.vf_msiu.ruилиpurge_msiu@mail.ru.
Своевременно и верно выполненная работа – необходимое условие сдачи экзамена по предмету. Выполненная не до конца, или содержащая ошибки контрольная работа не зачитывается, и возвращается студенту для повторного выполнения. Кроме того, на экзамене преподаватель может использовать контрольную работу для собеседования со студентом и задать по ней ряд вопросов. Поэтому студент, являясь на экзамен должен иметь при себе зачтенную контрольную работу.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ.
ПРИМЕР 1.
Найдите предел
Решение.
Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:
.
(Так как при
выражение
стремится к нулю по свойству показательной
функции с основанием 0<a<1).
ПРИМЕР 2.
Найдите предел
Решение.
Имеем
неопределённость вида
.
Чтобы устранить её, разделим числитель
и знаменатель на
:
.
ПРИМЕР 3.
Найдите предел
.
Решение.
Имеем
неопределённость вида
.
Чтобы раскрыть её, умножим и разделим
выражение в скобках на сопряженное ему
выражение
.
Получим:
.
ПРИМЕР 4. Найти
предел
Решение.
Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;
.
ПРИМЕР 5. Найти
предел
.
х
Решение.
Имеем
неопределённость вида
.
Чтобы воспользоваться вторым замечательным
пределом, преобразуем данную функцию:
.
ПРИМЕР 6.
Продифференцировать функцию:
.
Решение.
Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:
.
ПРИМЕР 7. Найти
производную функции, заданной неявно:
.
Решение.
Дифференцируем данную функцию по х:
,
откуда
ПРИМЕР 8. Найти
производную
от функции, заданной параметрически:
.
Решение.
.
ПРИМЕР 9. Найти
область определения функции
Решение.
Данная функция
определена для всех х, не обращающих
в нуль знаменатель, т.е. не являющихся
корнями уравнения
.
Это все числа вида
.
Таким образом,
область определения D(у)
- вся числовая прямая, кроме точек
.
ПРИМЕР 10.
Исследовать функцию и построить ее
график:
Решение.
Функция
определена и непрерывна в интервале
(0;+). В граничной
точке
области определения функция имеет
бесконечный разрыв, так как
.
Так
как в точке
функция имеет бесконечный разрыв, то
прямая
является вертикальной асимптотой.
Найдем уравнение наклонной асимптоты
(если
она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак,
и уравнение асимптоты
.
Таким образом, график имеет в качестве
асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
.
Стационарная критическая точка:
.
Исследуем знак производной на
интервалах(0;е) и (е;).
х
0 е
+ -
Составим таблицу:
x (0;e) e (e;+) y` + 0 - y возрастает max убывает
Экстремум
функции:
.
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,
при
.
Определим
знак второй производной в интервалах
+ -
и
:
-
х
0 +
x (0; ( y`` - 0 + график выпуклый точка
перегиба вогнутый
)
4,48
;)
Составим таблицу:
y(
)=3/(
)0.33
Г
рафик
пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек
пересечения с осью ординат нет. Строим
эскиз графика функции:
y x 1 е
е
ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах
Решение.
Построим
график данной функции в декартовых
координатах для
:
r
/2 3/2
2
φ
0
Из этого графика видно, что
при
имеем
.
Поэтому
требуемый график будет находиться в
секторах, соответствующих данным
значениям , а также
в секторах, симметричных им относительно
начала координат (в силу того, что перед
стоит чётный коэффициент).
Учитывая характер изменения rв этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):
ПРИМЕР 12.
Исследовать сходимость ряда
Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда
.
Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.
ПРИМЕР 13.
Разложить функцию
в ряд по степеням х.
Решение.
Разложим
функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что
,
разложим функцию на сумму двух более
простых:
.
Далее преобразуем:
.
Воспользуемся разложением:
.
*
(при
<1, т.е. при
<2)
то есть
.
Аналогично получим второе разложение:
.
Тогда:
.
Окончательно получаем:
ПРИМЕР 14.
Найти неопределённый интеграл
.
Решение.
Введем
подстановку
,
откуда
.
Тогда
.
Находим полученный табличный интеграл
и возвращаемся к прежней переменной:
.
ПРИМЕР 15.
Найти неопределённый интеграл
.
Решение.
Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:
.
ПРИМЕР 16.
Найти неопределённый интеграл
.
Решение.
Применим формулу
интегрирования по частям:
.
В данном случае:
.
Подставляя эти выражения в формулу,
получим:
.
ПРИМЕР 17. Вычислить
интеграл
или установить его расходимость.
Решение.
Точка
является особой точкой, поскольку
подынтегральная функция имеет в ней
бесконечный разрыв. Поэтому:
- получили бесконечный предел.
Таким образом, данный интеграл расходится.
ПРИМЕР 18. Решить
уравнение:
.
Решение.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Проинтегрируем части последнего равенства:
.
Отсюда:
.
Окончательно имеем:
- общее решение данного уравнения.
ПРИМЕР 19. Решить
уравнение:
.
Решение.
Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений
,
которые решаются с помощью подстановки
.
Отсюда:
.
После подстановки в исходное уравнение получим:
.
Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя обе части, получим:
Используя обратную подстановку, получим:
Окончательно имеем обще решение в виде:
.
Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:
.
Искомое частное решение:
.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.
Чтобы определить номер своего варианта, студент должен посмотреть порядковый номер своей зачетной книжки. Его последняя цифра является номером варианта контрольной работы. Например, если номер зачетной книжки – 6021, то вариант №1; если номер книжки – 7130, то вариант №10, и т.д.
А. Контрольные работы для студентов со средним общим образованием.
Контрольная работа № 1.
Задание 1. Найти следующие пределы:
1 a)
;
б)
;
в)
; г)
;
2. a)
; б)
;
в)
г)
;
3. а)
;
б)
;
в)
; г)
;
4. a)
;
б)
;
в)
;
г)
;
5. a)
;
б)
;
в)
; в)
;
6. a)
;
б)
;
в)
;
г)
;
7. a)
;
б)
;
в)
; г)
;
8. a)
;
б)
;
в)
; г)
9. a)
; б)
;
в)
; г)
;
10 a)
;
б)
;
в)
;
г)
Задание 2.Продифференцируйте функции:
1. а) y=extgx+
;
б)x=ln(xy)
; в)
a) y = ln(excosx + exsinx) ; б) x4+y4 = x2y2 ; в)
a) y = arcsin(sinx – cosx) ; б) x = ex+y ; в)
a) y = ln
;
б) cos(xy)=x ; в)
a) y = x2log3x+3x ; б) x3+y3-3xy=0 ; в)
a) y =
sin3x
; б)
;
в)
а) y=
;
б)yx=xy; в)
а) y=
; б)x3+y3-6xy=0
; в)
а) y=
; б)y=2x+arctgy; в)
а) y=arctg
;
б)x3+x2y+y2=0
; в)
Задание 3. Найти область определения функции
1. y=
;
2.y=
; 3.y=
; 4.y=
5. y=
; 6.y=
; 7.y=
; 8.y=
9. y=
; 10.y=
Задание 4.Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:
1.
y = ln sin x ; 2. y=log2
-x
; 3. y=
; 4. y=cos3x
5. y= ln(x2-1)
6.
y=3
7. y= x3+
; 8. y=2
; 9. y=
(x-1)e3x+1
; 10. y=
ln
x
Задание 5.Построить график функции, заданной уравнениями в полярных координатах.
1. r=sin4 ; 2. r= ; 3. r=cos2 ; 4. r=ln ; 5. r=sin +1
6. r=sin2 ;7. r=2+sin ; 8. r=cos ; 9. r=cos2-sin2 ; 10. r=sin3