- •Министерство образования российской федерации.
- •Содержание комплекса.
- •Часть первая. Программа по дисциплине “Математический анализ”. Рабочая программа
- •Пояснительная записка.
- •Примерный тематический план дисциплины “Математический анализ” (для очного отделения).
- •Содержание дисциплины “Математический анализ”.
- •Тема 1. Множества. Операции над множествами. Высказывания и логические символы. Теоремы о множествах.
- •Тема 2. Числовые последовательности. Виды последовательностей. Предел последовательности.
- •Тема 4. Понятие производной. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Тема 5. Исследование функций с помощью производной и построение их графиков.
- •Тема 6. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Функциональные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 7. Первообразная. Неопределённый интеграл и его геометрический смысл. Методы интегрирования.
- •Тема 8. Определённый интеграл и его приложения.
- •Тема 9. Функция нескольких переменных. Её предел, дифференцируемость, непрерывность. Экстремум и условный экстремум.
- •Список рекомендуемой литературы.
- •Часть вторая. Конспект лекций по дисциплине “Математический анализ”.
- •Часть 1 Введение в математический анализ.
- •Бесконечно большие функции и их связь с
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •Часть 2 Интегральное исчисление.
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка.
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
- •1) Интегрирование степенных рядов.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Решение дифференциальных уравнений с помощью
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
- •Часть третья. Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине “Математический анализ” и варианты контрольных работ.
- •Контрольная работа №2.
- •В. Контрольные работы для студентов со средним профессиональным образованием.
- •Часть четвёртая. Вопросы к экзамену по дисциплине “Математический анализ”.
- •1 Семестр.
- •2 Семестр (для студентов, обучающихся на базе спо – первый семестр).*
- •Часть пятая. Примеры практических заданий к экзамену по дисциплине “Математический анализ”.
Примерный тематический план дисциплины “Математический анализ” (для очного отделения).
|
№ п/п |
Тема |
Всего часов |
СРИЗ |
Аудит. занятия |
|
1 семестр | ||||
|
1 |
Множества. Операции над множествами. Высказывания и логические символы. Теоремы о множествах. |
6 |
6 |
- |
|
2 |
Числовые последовательности. Виды последовательностей. Предел последовательности. |
12 |
12 |
- |
|
3 |
Отображения и их виды. Понятие функции. Свойства функций. Графики функций. Обратная функция. Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и большие величины. Непрерывность функции. Теоремы Вейерштрасса и Кантора. |
22 |
20 |
2 |
|
4 |
Понятие производной. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о производных. |
22 |
20 |
2 |
|
5 |
Исследование функций с помощью производной и построение их графиков. |
28 |
26 |
2 |
|
Всего за семестр |
90 |
84 |
6 | |
|
2 семестр* | ||||
|
6 |
Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Функциональные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена. |
22 |
20 |
2 |
|
7 |
Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования. |
24 |
22 |
2 |
|
8 |
Определённый интеграл, его свойства и приложения. |
20 |
18 |
2 |
|
9 |
Функция нескольких переменных. Её предел, непрерывность, дифференцируемость. Экстремум и условный экстремум. |
24 |
24 |
- |
|
Всего за семестр |
90 |
84 |
6 | |
|
Всего за год |
180 |
168 |
12 | |
* для студентов, обучающихся на базе СПО – первый семестр обучения.
Содержание дисциплины “Математический анализ”.
Тема 1. Множества. Операции над множествами. Высказывания и логические символы. Теоремы о множествах.
Множества. Элемент множества. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность. Высказывания. Конъюнкция и дизъюнкция. Логические символы. Кванторы. Отображения и их виды. Необходимое и достаточное условия. Прямая, обратная и противоположная теоремы. Основные числовые множества. Ограниченные множества. Теорема о существовании точной грани у ограниченных множеств.
Тема 2. Числовые последовательности. Виды последовательностей. Предел последовательности.
Числовые последовательности и основные действия над ними. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их связь. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Сходящиеся последовательности и их свойства. Монотонные последовательности. Число е. Второй замечательный предел.
Тема 3. Отображения и их виды. Определение функции. Свойства функций. Обратная функция. Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Непрерывность функций. Теоремы Вейерштрасса и Кантора.
Отображения. Виды отображений: инъективные, сюръективные и биективные. Функция как отображение. Функциональные зависимости. Способы задания функций. График функции. Основные элементарные функции. Основные свойства функций: области определения и значений, чётность и нечётность, периодичность, монотонность и другие. Сложная функция. Обратимость функции и понятие обратной функции. Предел функции в бесконечности и в точке, различные его определения. Теоремы о пределах. Способы вычисления пределов. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Понятие непрерывности функции. Определение непрерывности. Свойства непрерывных на отрезке функций. Теоремы Вейерштрасса и Кантора Классификация точек разрыва.