- •Министерство образования российской федерации.
- •Содержание комплекса.
- •Часть первая. Программа по дисциплине “Математический анализ”. Рабочая программа
- •Пояснительная записка.
- •Примерный тематический план дисциплины “Математический анализ” (для очного отделения).
- •Содержание дисциплины “Математический анализ”.
- •Тема 1. Множества. Операции над множествами. Высказывания и логические символы. Теоремы о множествах.
- •Тема 2. Числовые последовательности. Виды последовательностей. Предел последовательности.
- •Тема 4. Понятие производной. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Тема 5. Исследование функций с помощью производной и построение их графиков.
- •Тема 6. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Функциональные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 7. Первообразная. Неопределённый интеграл и его геометрический смысл. Методы интегрирования.
- •Тема 8. Определённый интеграл и его приложения.
- •Тема 9. Функция нескольких переменных. Её предел, дифференцируемость, непрерывность. Экстремум и условный экстремум.
- •Список рекомендуемой литературы.
- •Часть вторая. Конспект лекций по дисциплине “Математический анализ”.
- •Часть 1 Введение в математический анализ.
- •Бесконечно большие функции и их связь с
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •Часть 2 Интегральное исчисление.
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка.
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
- •1) Интегрирование степенных рядов.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Решение дифференциальных уравнений с помощью
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
- •Часть третья. Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине “Математический анализ” и варианты контрольных работ.
- •Контрольная работа №2.
- •В. Контрольные работы для студентов со средним профессиональным образованием.
- •Часть четвёртая. Вопросы к экзамену по дисциплине “Математический анализ”.
- •1 Семестр.
- •2 Семестр (для студентов, обучающихся на базе спо – первый семестр).*
- •Часть пятая. Примеры практических заданий к экзамену по дисциплине “Математический анализ”.
Тема 4. Понятие производной. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
Понятие производной, её геометрический и физический смысл. Дифференцируемость функции в точке. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования. Вычисление производных основных элементарных функций. Теорема о производной обратной функции. Вычисление производных обратных тригонометрических функций и показательной функции. Производная сложной функции. Гиперболические функции и их производные. Таблица производных. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Приближённые вычисления с помощью дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы и производные высших порядков. Теоремы о производных. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей.
Тема 5. Исследование функций с помощью производной и построение их графиков.
Признак монотонности функции. Отыскание точек локального экстремума. Необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Применение второй производной к нахождению экстремумов. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции. Построение графиков основных элементарных функций. Преобразования графиков. График обратной функции. Параметрическое уравнение кривой на плоскости и в пространстве.
Тема 6. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Функциональные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.
Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Признак сравнения. Знакопеременные и чередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Теорема Тейлора. Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа, Пеано, Коши. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена и их использование для приближённых вычислений. Функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Свойства степенных рядов.
Тема 7. Первообразная. Неопределённый интеграл и его геометрический смысл. Методы интегрирования.
Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его геометрический смысл. Действия над неопределёнными интегралами. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Внесение функции под знак дифференциала. Основные методы интегрирования: подстановкой, по частям, разложением. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование рациональных и некоторых иррациональных функций. Подстановки Эйлера.
Тема 8. Определённый интеграл и его приложения.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и механический смысл определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, объёмов тел и площадей поверхностей кривых. Несобственные интегралы первого и второго рода, признаки их сходимости. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование по параметру.