Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

20	Гл. 1. Аналитическая геометрия

2. Вычисляем смешанное произведение:

-2

{AiA2,AiA3,AiA4) О

-7

= 2 • 42 + 2 • 70 + (-3) • (-28) = 308 и находим объем тетраэдра по формуле (1)

1 3

Ут = 7 * ^^^ (ед.длины) . 6

3. Вычисляем координаты векторного произведения:

г	j	к	= - 1 2 ? - 24J+ 8^ = {-12, -24,8}
[AiA2,AiA3] = 2	- 2	- 3
4	0	6
и его модуль
[AU2,AiA3]		= ^(-12)2 + (-24)2 + 82 28.

4. Находим высоту h по формуле (3):

.	1(^1^2,^1 Аз, ^1^4)1			308 ,^
h — ——		—	,,—— = —— = 11 ед.длины.
	\[А^А^,АгАз]\			28
Ответ. Vr, =	-—	(ед.длины)	,	h = 11 ед.длины.
	о

Условия ЗАДАЧ. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках Ai, А2, A3, А4 и его высоту^ опущенную из вершины А^ на грань А1А2А3.

	Ai(2,4,7),	>i2(3,3,2),	^3(0,1,2),	А4(-3,7,-2).
	Ai(-2,4,8),	^2(4,-1,2),	Аз(-8,7,10),	А4(-3,4,-2).
	Ai(6,l,3),	^ 2 ( 6 , - 2 , - 3 ) ,	^з(2,2,0),	Л4(-5,1,0).
	Ai(0,-1,2), Л2(-3,3,-4),		Аз(-9,-5,0),	Л4(-8,-5,4).
	Ai(0,-4,3),	Л2(-5,1,-2),	^з(4,7,-2),	А4(-9,7,8).
6.	Ai(2,l,l),	^2(0,5,7),	Лз(3, - 3, - 7),	Л4(1,8,5).
7.	Ai(4,l, - 1),	^2(1,4,-1),	^з(0,1,3),	А4(-2,0,0).
8.	Ai(5,2,l),	^2(4,5,4),	Аз(8,3,-3),	А4(-7,12,-4).
9.	Ai(0,2,-2),	Л2(1,9,3),	Лз(6, - 6, - 2),	^4(3,-2,8).
10. Ai(12,2,3),		A2(-7,-5,0),	А з ( - 4 , - 8 , - 5 ) ,	А4(-4,0,-3).

			1.7. Расстояние от точки до плоскости						21
Ответы.
l.V		= 70/3,		h = 2ч/14.	2.	У =	56/3,	/i = 4.
3.	У = 43/2,			h = 43\/Т05/105.	4.	У = 80/3,		h =	i.
b.V		= 190,		h = 2 v ^ .	6.	У =	15,	h = SVE.
7.	У =		12,	/i = 2i/3.	8.	У =	140/3,	/i =	4i/l4.
9.	У =		250/3,	/г = 5\/2.	10.	У =	338/3,	/i =	V ^ .

1.7- Расстояние от точки до плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти расстояние от точки Мо(жо, VO^ZQ) до плоскости, проходящей через точки Mi(a:i,2/i,zi), М2{х2,У2у^2) и

Мз(а;з,2/з,^з)-

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с верпганами Мо(а;о,2/о,^о), Mi{xi,yi,zi), М2(х2,2/2,^2) и Мз(жз,2/з?^з)? опущенную из вершины Мо(а;о, VO^ZQ) на грань М1М2М3 (см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.

Расстояние d от точки Мо{хо,уо,го) до плоскости равно длине проекции вектора MIMQ на нормальный вектор плоскости п, т.е.

(n,MiMo)|	(1)
d = I nP^MiMol = '^ ' .' "^' .

\n\

Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторам М1М2 и М1М3, его можно найти как их векторное произведение:

п= [MiM2,MiM3].

1.Находим координаты векторов:

М1М2 = {x2-xi,y2-yi,Z2-zi},	МгМг =			{x3-xi,ys-yi,Z3-zi},
Ml Mo = {хо -xi.yo -2/1,2:0 -	zi},
и нормального вектора плоскости:
п = [MiM2,MiM3] =	г	j		к
	Х2 -XI	2/2 -	2/1	^2 -	Zi
	хз -XI	2/3 -	2/1	^3 -	2^1

2. Вычисляем расстояние d от точки Мо(жо,2/05^о) ДО плоскости по формуле (1).

ПРИМЕР. Найти расстояние от точки Мо(1,-1,2) до плоскости, проходящей через точки Mi(l,5, —7), М2(—3,6,3), Мз(—2,7,3).

22	Гл. 1. Аналитическая геометрия

РЕШЕНИЕ.

1.Находим координаты векторов:

MiM2 = {-4,l,10}, MiM3 = {-3,2,10}, MiMo = {0,-6,9},

и нормального вектора плоскости:

г	j	к	= -lOi + lOj -Бк.
п = [М1М2, MiMs] = - 4	1	10
- 3	2	10

2. Вычисляем расстояние d от точки MQ ДО ПЛОСКОСТИ ПО фор­

муле (1):
d:=|nP^MiMo| = |(n,MiMo)|	-105	= 7.
	V(-10)2 + 102 -f	(-5)2

Ответ, d = 7 ед. длины.

Условия ЗАДАЧ. Найти расстояние от точки MQ до плоскости, проходящей через точки Mi, М2 и М^.

1.	Mi(0,7,-4),	М2(4,8,-1),	Мз(-2,1,3),	Мо(-9,10,2).
2.	Mi(5,8,3),	М2(10,5,6),	Мз(8,7,4),	Мо(7,0,1).
3.	Ма(1,3,5),	М2(-5,5,2),	Мз(7,-1,8),	Мо(-3,4,3).
4.	M i ( 0 , - 2 , - l ) ,	М2(-3,-1,2), Мз(1,0,-2),		Мо(-3,3,1).
5.	Ml(2,3,1),	М2(2,0,3),	Мз(1,2,0),	Мо(3,0,5).
6.	Mi(4,3,5),	М2(4,5,2),	Мз(5,1,4),	Мо(-2,-6,2).
7.	Ml(4,5,0),	М2(4,3,0),	Мз(1,2,9),	Мо(6,1,-6).
8.	Mi(5,12,l),	М2(0,5,-3),	Мз( - 4,2, - 1),	Мо(-4,9,-8).
9.	Mi(0,3,5),	М2(0,-1,-3), Мз(4,0,0),		Мо(-1,4,6).
10. Mi(l, - 2,2),		М2(-3,2,3),	Мз(3,0,6),	Мо(-2,5,-4).
Ответы. l.d = 459/\/2265. 2. d = 5л/2. 3.d = 0.				4. d = 9/у/Ш.

5.d = N/38/38. 6. d = 5/v/29. 7. d = 2^6. 8. d = 7. 9. d = 5/9.

10.d = 45^194/97.

1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором

23

1.8.Уравнение плоскости с данным нормальным вектором

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать		уравнение	плоскости, проходя­
щей через	точку Mo{xo,yo,zo) перпендикулярно		вектору М1М2, где
точки Ml	и М2 имеют координаты	{xi^yi^zi)	и (х2,2/2,^2)•

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Уравнение плоскости, проходящей через точку ^о(^О) 2/05 ZQ) перпендикулярно вектору п = {А, Б, С}, имеет вид

А{х - хо) + В{у - уо) + C{z - го) = 0.

(1)

1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор

М 1 М2 = {Х2 ~Х1,У2	~yi,Z2 -	Zi}.
2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным			вектором
М1М2, проходящей через точку Мо(а:о,2/о,2;о):
(Х2 - Xi){x -	Хо) + (2/2 -	yi){y - Уо) + {Z2 - Zi){z - Zo)	= 0.

ПРИМЕР. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ­ ку Мо(2,5,—3) перпендикулярно вектору М1М2, где точки Mi и М2 имеют координаты (7,8, —1) и (9, 7,4).

РЕШЕНИЕ.

1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор MiM2 = { 2 , - l , 5 } .

2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором п = {2, —1,5}, проходящей через точку Мо(2,5, —3):

2 ( а ; - 2 ) - 1 ( 2 / - 5 ) + 5(гЧ-3)=0.

Ответ. Уравнение плоскости 2а: — у Н- 5z + 16 = 0.

Условия ЗАДАЧ. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору М1М2.

1.	Мо(3,2,0),	Mi(4,l,5),	М2(2,-1,4).
2.	Мо(-5,-1,0),	iWi(-5,l,-4),	М2( - 2,2, - 3) .
3.	Мо(2,-4,-2),	M i ( - l , - 3 , - 7 ) ,	М 2 ( - 4 , - 1 , - 5 ) .
4.	Мо(-5,3,10),	Mi(0,5,7),	М2(2,7,8).

24		Гл. 1. Аналитическая геометрия
5.	Мо(2,-10,-4), Mi(0,-6,-8),				М2(-2,~5,-9).
6.	Мо(1,9,2),	Mi(0,4,7),			М2(1/6,9).
7.	Мо(0,-2,7),	Mi(-5,~4,9),			М2(-2,^2,6).
8.	Мо(-1,1,-4),	Mi(3,8,-2),			М2(2,11,0).
9.	Мо(-1,7,-б),	Ml(3,5,-1),			М2(1,3,-2).
10. Мо(-5,2,5),		Mi(3, - 3 , - 2),			М2(4, - 1 , 2 ) .
Ответы.
1.	2a: + 22/ + z = 0.		2.	Зх + у + 2 - 4 = 0.
3. Зх - 2у - 22: -		16 = 0.	4.	2ж -h 2^/ + z + 9 = 0.
5.	2х - 2/ + ;г - 20 = 0.		6.	ж + 2у + 2z -- 3 = 0.
7.	Зж + 2у - Зг + 23 = 0.		8.	а: - Зг/ -	22; - 8 = 0.
9.	2х + 2у -f г - 16 = 0.		10. о; -f 22/ + 42; ~ 5 = 0.

1.9. Угол между плоскостями

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти угол меэюду плоскостями Ахх Н- Вху -h Ciz + А = 0 , А2Х -h Б22/ -f C2Z + D2 = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

ni = {Ai,^i,Ci}, П2 = {А2,^2,С2}.

Поэтому угол (^ между плоскостями определяется равенством

(П1,П2) |ni| •|П2|

ПРИМЕР. Найти угол между плоскостями

X 4- 22/ - 2z - 7 = О, X + 2/ - 35 = 0.

РЕШЕНИЕ. Двугранный угол между плоскостями равен углу меж­ ду их нормальными векторами п\ = {1,2,—2}ип2 = {1,1,0}. Поэто­ му угол (/? между плоскостями определяется равенством

(П1,П2)		1 - Ц - 2 - 1 - 2 . 0	'—""• —-	1
c o s (Р ^^ "'^	^ -—	^12 + 22 + (-2)V12		V2 '
|П1|-|П2|			+ 12

Таким образом, ^ — arccos (1/\/2) = 7г/4. Ответ. Угол между плоскостями (р = 7г/4.

1.10. Канонические

уравнения

прямой

25

Условия ЗАДАЧ. Найти угол меоюду плоскостями.

1.

З а : - у 4-3 = 0,

x-2y-^5z-10

= 0.

2.

x-y-\-3z-5

= 0,

x-\-z-2

= 0.

3.

5а:-4г/ + 3 ^ - 3

= 0,

Ax-y-

z-b2

= 0.

4.

5х-Зг/ + 2г + 5 = 0,

3x~\-3y-3z-8

= 0.

5.

6а; + 2 2 / - 4 г + 1 7

= 0,

9a: + Зу - 6z -

4 = 0.

6.

x - y - f 2;\/2-5

=

0,

a: + г/ -

г\/2 + 7 = 0.

7.

2/ - Зг + 5 = 0,

у + 22; -

3 = 0.

8.

6ж + 22/-ЗгН-1 = 0,

a: + бу + 2z -

10 = 0.

9.

2a: + 2/ + 2 z - 5

= 0,

12a: + Щ -

15z + 2 = 0.

10.5ж -

2/+ 2z + 12 = 0,

3a: + 22/ + z + 10 = 0.

1

о

/ 8

,

7

Ответы.

1.

(^ = arccos—•=.

2.

(Z) = arccos\/—.

3. (^ =

arccos--.

^

2\/3

V 11

^

10

7 Г ^

л ^

2 7 Г ^

7 Г ^

7 Г ^

2

4. (/? =

--• о. (/? = 0. о.

v? = -—.

7.

(/? = —. 8.

(^ = — •

9. (^ =

arccos — .

2

3

4

2

15

10.(р = arccos '

1.10.Канонические уравнения прямой

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать канонические уравнения пря­ мой^ заданной как линия пересечения двух плоскост^ей {общими урав­ нениями)

Г Aix + Biy	+ Ciz + Di = О,
\ Ачх + Biy	+ C2Z И- ^2 = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Проверяем, что векторы п\ = {Ai,5i,Ci} и П2 = {Ач^Вч^Сч} неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некото­ рой прямой.

Канонические уравнения прямой с направляющим вектором а = = {/, т , п}, проходящей через данную точку Мо(а:о, yo^zo), имеют вид

	X ~хо	2/ - 2/0	Z- Z0	(1)
	I	772	П

Поэтому чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти ее на­ правляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.

2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор а ортогонален нормальным векторам

26	Гл. 1. Аналитическая геометрия

обеих плоскостей, т.е. а -L ni = {Ai,Bi,Ci} и а ± П2 = {Аг, JB2,C2}. Следовательно, направляющий вектор а находим по формуле

i	j	к
а = [П1,П2\ = Ai	В,	Ci
А2	В2	С2

3.Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку на­ правляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из коорди­ натных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плос­ кость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.

4.Подставляем найденные направляющий вектор и точку в урав­ нения прямой (1) и записываем ответ.

ПРИМЕР. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

Г 2х-^ Ъу Л-Z-% = {),

\ X - 2?/ - 2z -h 1 = 0.

РЕШЕНИЕ.

1.Проверим, что векторы пх = {2,3,1} и П2 = {1, —2, —2} неколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем

	1 ^ - 2
Векторы Ях =	{2,3,1} и П2 = { 1 , - 2 , - 2 } неколлинеарны, так как
их координаты	непропорциональны. Следовательно, две плоскости
пересекаются по прямой.
2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,

то ее направляющий вектор а	ортогонален	нормальным векторам
обеих плоскостей, т.е. а L п\	= {2,3,1} и	а i. П2 = { 1 , - 2 , - 2 } .

Следовательно, направляюющий вектор а находим по формуле

	г	j	к	-4г 4- 5j - 7к.
[П1,П2\	2	3	1
	1	- 2	- 2

3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку на­ правляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.

1.10. Канонические уравнения прямой

27

Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точ­ ка ее пересечения, например, с плоскостью у = 0. Координаты этой точки находим, решая систему трех уравнений

2ж + г - 8 = О, ж - 22: + 1 = О,

у = 0.

Получим жо = 3, уо = О и zo = 2, т.е. Мо(3,0,2).

4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в урав­ нения прямой (1), получим

X — 3 ^	у	Z — 2
- 4 "	5 ""	- 7 *

Ответ. Канонические уравнения прямой имеют вид

ж - 3	_У_ _	Z-2
- 4	~ 5	- 7 '

Условия ЗАДАЧ. Написать канонические уравнения прямой^ за­ данной как линия пересечения двух плоскостей.

	( х^у+	z-2 = 0,
	\ ж - 2 / - З г + 6 = 0.
	Г x-2y + 2z-A		= 0,
'^'	\2x-^2y-2z-S		= 0.
	. 2x-\-Sy+	z-i-3	= 0,
^'	^ x-Sy-2z	+ 3 = 0.
	Г х + 5г/ + 22: + 5		= 0,

Г 2x-3y-\-2z+		2== О,
' \	2Ж + 32/+ 2 + 14 = 0.
Г	а:Н-?/+ z - 2 = 0,
\	x-y-Sz+	2 = 0.
Г(xх + уy - z - A = 0,
\	x-y-{-2z	= 0
Г 2x-{-2y-2z-hl		= 0,
	Зж - 2г/ + 3z -f 4 = 0.

Г 4а:+ 2/-З2:+ 4 = О,		10	/ ^- ~ y^-z-2	= 0,
\ 2ж - у 4- 2г -f 2 = 0.		' \ ж - Зу+ г + 4 = 0.
Ответы.
x+2_y-i_z		ж + 4 _ у + 2 _ z
' ~l~ ~ - 2 ~ 1*	'	9	~ - 2 ~ ^ l 2 *

28			Гл. 1. Аналитическая геометрия
3.	X — 4 у		Z	4.	X	у -	2	г
	0	^1~Т'			Т "	-2	~ Т'
5.	х + 2 _ у _ Z			6.	х - 2 _ у - 3 _ Z
	3 ~ - 5 ~ 9"				1	~ - 3			~ ^ '
7.	X	у + 1	Z	8.	X + 1		у-1/2		Z
	7	- 1 ~ 2'			1	^	- 6		~ " ^
9.	а;+1	у	Z	10.	X -	5	у -	3	Z
	1 ~ 1 4 ^ 6 '				2 ~ 1 ~Т

1.11.Точка пересечения прямой и плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти точку пересечения прямой

x-xi	^ у-уг	^ Z- zi
I	т	п

и плоскости

АхЛ-Ву + Сг + П = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Проверим, что прямая не параллельна плоскости. Это означает, что направляющий вектор прямой а = {/, т , п} и нормальный вектор плоскости п = {А, -В, С} не ортогональны, т.е. их скалярное произ­ ведение не равно нулю:

А1-\-Вт + Спу^ 0.

В этом случае существует единственная точка пересечения прямой и плоскости.

2. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще говоря, надо репшть систему трех уравнений с тремя неизвестными (два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнее использовать параметрические уравнения прямой.

Положим
x~xi	^ г/-г/1 ^ Z-	zi ^
/	т	п

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

X = It -\- Xi^ y = mt-{-yi, z = nt-\- zi.

1.11. Точка пересечения прямой и плоскости

29

3.Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости

ирешая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4.Найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

XQ = Но + Xi, уо = mto + yi, ZQ = nto + Zi.

Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются

вточке (хо,2/о,^о).

ПР И М Е Р . Найти точку пересечения прямой

X — 1	у -\-1	_ Z
и плоскости
2x-3y-\'Z-S		= 0.

РЕШЕНИЕ.

1.Имеем

(а, п) = 2 • 2 Ч-О • (-3 + (-1) • 1 = 3 7^ 0.

Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются в единственной точке.

2. Положим

х-1	_	г/ + 1 _ Z	_
2	"	О ""• - 1	~ '

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

3. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

2(2t + 1) - 3(-1) 4- l{-t) - 8 = О = > to = 1.