Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

10	Предисловие

Подчеркнем, что для использования пакета РЕШЕБНИК.ВМ надо уметь пользоваться только MS Word. Все остальные навыки вырабо­ таются сами собой по мере изучения математики.

Студенты могут применять пакет и для решения задач по физике и другим точным наукам, а также для оформления отчетов по лабо­ раторным и курсовым работам.

По истечении полутора-двух лет оказывается, что студенты уме­ ют решать всевозможные задачи самостоятельно и с использованием мош;нейшего пакета "Суперсистема символьной математики", кото­ рый сформировался на их компьютерах в процессе учебы с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ.

Преподаватели могут использовать пакет РЕШЕБНИК.ВМ при подготовке занятий, контрольных мероприятий, методической лите­ ратуры, статей и для организации автоматического контроля знаний студентов.

Объем пакета РЕШЕБНИК.ВМ не превосходит 500 К. Подробная информация о пакете РЕШЕБНИК.ВМ и сам пакет

размеш;ены на сайте Интернет www.AcademiaXXI.ru.

Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания о комплексе РЕШЕБНИК "Высшая математика" и предложения по ад­ ресу:

111250 Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Московский энер­ гетический институт (ТУ), кафедра высшей математики.

E-mail: [e-mail].

Г л а ва 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

При изучении темы АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ вы научи­ тесь решать задачи векторной алгебры и использовать свойства ли­ нейных операций с геометрическими векторами, скалярного, вектор­ ного и смешанного произведений векторов для решения геометричес­ ких задач. Вы научитесь решать задачи аналитической геометрии, связанные с различными видами уравнений плоскости и прямой и их взаимным расположением.

С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить системы уравнений, вычислить определители, выполнить все численные рас­ четы и проверить правильность полученных вами результатов.

1.1. Разлож:ение вектора по базису

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти разлоэюение вектора x={xi, Х2, хз} по векторам р = {р1,р2,рз}, q = {qi,q2,q3} wf == {г1,Г2,гз}.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Искомое разложение вектора х имеет вид

X = ар-\- Pq + jf.

2. Это векторное уравнение относительно си,/3,^ эквивалентно си­ стеме трех линейных уравнений с тремя неизвестными

P2«-b ^2/?+ 7-27 = X2,

Рза + 9з/3 + гз7 = хз.

3. Решаем эту систему уравнений относительно а, /3 и 7 и таким образом определяем коэффициенты разложения вектора х по векто­ рам р, ди г. Записываем ответ в виде х = ар-\- l3q-{- "уг.

12	Гл. 1. Аналитическая геомещрил

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ система уравнений не имеет решений (векторы р, q л г лежат в одной плоскости, а вектор х ей не принадлежит), то вектор X нельзя разложить по векторам р, q и г. Если система уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы р, q, г и вектор X лежат в одной плоскости), то разложение вектора х по векторам р., qvir неоднозначно.

ПРИМЕР . Найти разложение вектора х = {3,-1,2} по векторам р = {2,0,1}, д = {1,-1,1} и г = { 1 , - 1 , - 2 } .

РЕШЕНИЕ.

1. Искомое разложение вектора х имеет вид

X = ар-\- /3q-\- jr.

2. Это векторное уравнение относительно а, /3 и 7 эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными

2а + р+	7 =	3,
а 4- /3 -	27 =	2.

3. Система имеет единственное решение а = 1,/3 = 1, 7 = 0- Ответ. X = р-\- q.

Условия ЗАДАЧ. Написать разлооюение вектора					х по векторам
р, q и	г.
1.	f = {-2,0,9},		р={0,-1,2},	д = { 1 , 0 , - 1 } ,	г = { - 1 , 2 , 4 } .
2.	f = {5,-12,-1}		р={1,-3,0},	д- = {1,-1,1},	г = { 0 , - 1 , 2 } .
3.	ж ={0,2,4},		р ={3,1, - 1},	9 ={0, - 3,1},	F = {1,1,1}.
4.	f = {-1,5,5},		р={2,1,1},	g = { - 2 , 0 , - 3 } , г- = {-1,2,1}.
5.	X ={-1,-2,3}, р ={2,0,1},			g ={1,2, - 1},	f = {0,4,-1}.
6.	f = {-5,2,-l}.		р = { - 1 , 1 , 0 } ,	q={2,-l,3},	f = {l,0,l} .
7.	f = {l,-5,7},		р ={0, - 1,1},	g ={2,0,1},	f = {3,-1,0}.
8.	f	= {5,l,4}.	p ={2,0,2},	g = { 0 , - l , l } ,	f = {3,-1,4}.
9.	f	= {l,l,-l}.	p = { l , l , 0 } ,	g = { - l , 0 , l } ,	f = {-l,0,2}.
10	.f = {-3,7,4},		p ={ - 2,2,1},	g ={2,0,1},	f = {1,1,1}.
Ответы. 1. {2,-1,1}. 2. {4,1,-1}. 3. {-1,0,3}.					4. {-1,-1,3}.

5.{1,-3,1}. 6. {3,1,-4}. 7. {2,5,-3}. 8. {1,-2,1}. 9. {1,1,-1}.

10.{2,-1,3}.

1.2. Коллинеарность векторов	13
1.2. Коллинеарность векторов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Коллинеарны ли векторы р = Aia + Л26 и q = /iia + /i2^, где а = {а1,а2,аз} иЬ = {bi,62,63}?

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, ко­ гда существует число а такое, что р = aq. Иными словами, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцио­ нальны,

1. Находим координаты векторов р и q^ пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.

2. Если координаты векторов р		=	{р1^Р2,Рз} ^ Q = {QI^Q2IQ3}
пропорциональны, т.е.
Pi. _ Р2 _ РЗ
Qi	Q2	Яз	'

то векторы pnq коллинеарны. Если равенства

Pi^ _ Р2 _ Рз

Qi Я2 Яз

не выполняются, то векторы pnq неколлинеарны.

ПРИМЕР. Коллинеарны ли векторы р = 4а — 36, q = % — 12а, где а = {-1,2,8} и 6 = {3,7,-1}?

РЕШЕНИЕ.

1. Находим координаты векторов р w. q, пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число:

р = {-13,-13,35},		д = {39,39,-105}.
2. Так как
- 13	- 13	35
39	39	-105 '

то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы р и g кол­ линеарны.

Ответ. Векторы р* и д* коллинеарны.

14	Гл. 1. Аналитическая геометрия

Условия ЗАДАЧ. Коллинеарны ли векторы р и q ?

1.	а - { 1 , 2 , - 3 } ,	6 = { 1 , 0 , - 1 } ,	р =	За + 66,		g = - a + 26.
2.	а={2,0,1},	6 - { - 2 , 3 , 1 } ,	р = 2а + 26,			q =	3d-2b,
3.	а - { - 2 , 2 , 1 } ,	Ь = { - 1 , - 2 , 2 } ,	р =г а + 36,			q —	2d-h.
4.	а = { - 1 , 2 , 3 } ,	6={2,1,1},	р = 2а + 36,			q=a	— 6.
5.	а={2,5,1},	Ь={5,0,2},	р=-а		+ Ь,	^ = a — 36.
6.	а - { 1 , 2 , - 2 } ,	Ь - { 1 , 3 , - 1 } ,	р=а-\-Ь,			q=a-\-2b.
7.	а - { 1 , 2 , 3 } ,	6 - { 2 , - 1 , 0 } ,	р = 63— 26,			g*=—3a-f a.
8.	а=:{1,3,-1},	Ь^ = {2,1,3},	р = 6а-		36,	g*=:-4a + 2a.
9. а = { - 1 , - 2 , 2 } ,		6^ = { 1 , 0 , 2 } ,	р = а -f 36,			q—~2a — 66.
10. а={1,3,2},		6 - { 1 , - 2 , 6 } ,	p=a	— b^		g =:-6a + 66.

Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да. Да. 9. Да. 10. Да.

1.3. Угол между векторами

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Даны точки A(a;i,t/i,zi), В{х2^у2^^2) и С{хз,Уз^^з)- Найти косинус угла между векторами АВ и АС.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Косинус угла ip между векторами АВ и АС оп­ ределяется формулой

	COS(/? =	{АВ.АС)	(1)
		\АВ\ ' \АС\

1. Чтобы вычислить длины векторов \АВ\ и \АС\ и скалярное произведение {АВ^АС), находим координаты векторов:

АВ = {х2 -Х1,у2 -yi,Z2 - zi), AC = {хз -Х1,уз -yi,Z3 ~ zi}.

2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

\АВ\ - y/{X2-Xi)^ + {y2-yi)^ + {z2-Zi)^,

\АС\ - V(^3 - xi)2 + (уз - yi)2 + (^3 - zi)2,

(АВ, AC) = {х2 - xi){x3 - xi) + (2/2 - У1){уз - 2/i) + (^2 - Zi){z3 - zj). 3. Вычисляем cosi/? no формуле (1) и записываем ответ.

1.4. Площадь параллелограмма

15

ПРИМЕР. Даны точки А( - 2,4, - 6), Б(0,2,-4) и С( - 6,8, - 10) . Найти косинус угла между векторами АВ и АС.

РЕШЕНИЕ.

1.Находим координаты векторов АВ = {2,-2,2} и АС = {-4,4,-4}.

2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

\АВ\ = ^ 2 ^ + ( - 2)' + 2' = 2v^, 1^1 = V ( - 4 ) 2 + 42 + (-4)2 = 4^3,

(АВ, AC) = 2 • (-4) 4- (-2) • 4 + 2 • (-4) = -24.

3. Вычисляем cos<^ по формуле (1):

- 24 ^

COS (f =

-1=

-7= = —1 .

2\/3 • 4\/3

Ответ. Косинус угла между векторами АВ и АС равен —1. Условия ЗАДАЧ. Найти косинус угла меоюду векторами АВ и АС.

1.	А{2,-2,3),	В{1,-1,2),	С(4, - 4,5) .
2.	А(0,-2,6),	В ( - 1 2 , - 2 , - 3 ) ,	С ( - 9 , - 2 , - б ) .
3.	А{2,г,-1),	5(4,5, - 2),	С(3,1,1).
4.	А( - 1,2, - 2),	5(3,4, - 5),	С(1,1,0).
5.	У 1 ( - 2 , - 2 , 0 ) ,	В(1,-2,4),	С(5, - 2,1) .
6.	А(3,3,-1),	В(3,2,0),	С(4,4, - 1) .
7. Л ( - 1 , - 7 , - 4 ) ,		В ( 2 , - 1 , - 1 ) ,	С(4,3,1).
8.	А(2,-2,6),	5(0,0,4),	С(б,-6,10).
9. Л(0,1,0),		5(3,1,4),	С(4,1,3).
10. Л(3,2,0),		5(1,4, - 1),	С(4,0,2).

Ответы, l.cosy) = - 1 . 2.cos^ = 24/25. Z.cos^p = - 4/9 . 4.cos(p =0 . 5. cos (f = -^/2/2. 6. cos ip = 1/2. 7. cos y; = 1. 8. cos ^ = - 1 . 9. cos ip = 24/25. 10.cosv? = - 8 / 9 .

1.4. Площадь параллелограмма

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь параллелограмма, по­ строенного на векторах а = aip + a2q ub = /3ip'+/329, если известно, что \р\ = ро, \q\= qo и угол между векторами р и q равен ip.

16	Гл. 1. Аналитическал геометрия
	ПЛАН РЕШЕНИЯ. Площадь параллелограмма^ построенного на век­
торах а и 6, равна модулю их векторного произведения:
	S=\la,b]\.	(1)

1.Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения [а, Ь] = [aip + 0L2q,liiP + p2q\ =

=Q^I/?I[P,P1 + a;i/?2[p,q\ + o^2/3i[q,p\ -f a2/32[g,q\ =

=(ai/?2 -a2/?i)[p,g].

2.Вычисляем модуль векторного произведения

I [а, 6] I = |ai/?2 - «2^1 \p\ l^simp

{simp > 0, так как О < (p < тг).

3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)

5 = |[а,Ь]| = \aiP2 -Q:2/?i||plMsin<^.

ПРИМЕР. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а — Зр~\- 2диЬ = 2р — д, если известно, что |р| = 4, |gl = 3 и угол между векторами рид равен 37г/4.

РЕШЕНИЕ.
1.	Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения
[а,Ь] = [3^+ 2q,2p^		q\ = 6[р,Й - 3[p,g] + 4[q,p\ - 2%^ = -7[р,^.
2.	Вычисляем модуль векторного произведения
	|[5, Ь]| =	I - 7[р,gll = 7|pl|9l sin ^ = 42ч/2.
3.	Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)
		5=:|[а,Ь]|=:42\/2.

Ответ. Площадь параллелограмма равна 42\/2 (ед. длины)^.

1.5. Компланарность векторов

17

Условия ЗАДАЧ. Вычислить площадь параллелограмма, постро­ енного на векторах а иЪ {pq — угол меоюду векторами р и q).

1.	a = p + 3g,		b^=2p-q,	|р| =	2,	\q\ = I,		р £ = 7 г / 6 .
2.	a = 2p-\-q,		b = p - 3q,	\p\ = 2,		|^ =	2,	р£	= 7г/А.
3.	a = p-2q,		b^^p + Sq,	\p\ = 1,		\q\ = 2,		p |	=	7г/2.
4.	a=:3p-5g*,		b = p~\-2q,	|p| =	2,	|gl =	1,		pq=bn/6.
5.	a=p-q,		b = 2p4-2g,	|p1 =	1,	|gl =	6,	pg	=	37г/4.
6.	a=p	+ 2q,	b = 3p-2q,	|p| =	3,	|gl =	2,	pq^zn/S
7.	a = 2p-2q,		b^ = p + q,	\p\ = 2,		|gl =	3,	pg	=	7г/2
8.	a = p-\-q,		b = p-iq,	|p| =	7,	|g| =	4,	pg	=	7г/4
9.	a - 4 p - 4 g ,		b = p + 3g,	|pl =	2,	|g1 =	1,	p |	=	тг/б
10. a = p - b g ,			b = 2p-q,	\p\ = 2,		\q\ = 3,		pq	=7г/3
Ответы.		1. 5 = 7.	2. 5 = 14i/2.	3. 5 = 10. 4. 5 =				11.	5. 5 = 15\/2.

6.5 = 24\/3. 7. 5 = 24. 8. 5 = 70v/2. 9. S = 16. 10. 5 = 9\/3.

1.5.Компланарность векторов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Компланарны ли векторы а = {а1,а2,аз},

Ь = {61,62,^3} txc = {с1,С2,сз}?

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ДЛЯ ТОГО чтобы три йектора были компланарны

(лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необхо­ димо и достаточно, чтобы их смешанное произведение (а,Ь,с) было равно нулю.

1. Смешанное произведение векторов выражается через их коор­ динаты формулой

СЦ	^2	^3
(а, 6, с) = bi	62	Ьз
Cl	С2	Сз

2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю, то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то век­ торы некомпланарны.

ПРИМЕР. Компланарны ли векторы а = {7,4,6}, Ь = {2,1,1} и с = {19,11,17}?

18	Гл. 1. Аналитическая геометрия

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем смешанное произведение векторов:

(а, 6, с) =	7	4	6
	2	1	1 = 0.
	19	11	17

2. Так как (а, Ь, с*) = О, векторы а, Ь и с компланарны.

Ответ. Векторы а, 6 и с компланарны.

Условия ЗАДАЧ. Компланарны ли векторы а,Ь и с7

1.	а = {1,3,0},			6 =	{-1,0,-1},	с = {1,2,1}.
2.	5	=	{3,2,1},	6 =	{5,5,5},	с = { 0 , - 1 , - 2 } .
3.	а =		{0,6,1},	6 =	{0,2,0},	с = {1,1,1}.
4.	а =		{4,1,-2},	6 =	{3,2,1},	с = {5,5,5}.
5.	а =		{2,5,0},	6 =	{2,-1,2},	с = {1,1,1}.
6.	а = {1,0,-1},			6 = {-2,-1,0},		с = {3,1, - 1} .
7.	а = {4,3,1},			6 =	{5,1,2},	с = { 2 , 1 , - 1 } .
8.	а = {-2,4,3},			Ь=	{4,7,5},	с = { 2 , 0 , - 1 } .
9.	а =		{2,5,8},	6 =	{ 1 , - 3 , - 7 } ,	с = {0,5,10}.
10. а = {1,5,1},				6 =	{1,7,1},	с = {2,2,1}.
Ответы. 1. Нет.				2. Да. 3. Нет.		4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет.

8.Да. 9. Да. 10. Нет.

1.6.Объем и высота тетраэдра

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тетраэдра с верши­ нами в точках Ai{xi,у 1,zi), Аз(жз,2/2,22), Аз{хз,уз,2з), ^4(^4,2/4,^4) и его высоту, опущенную из вершины А^ на грань А1А2А3.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Из вершины Ai	проведем векторы A\A2 =		{x2—xi,y2—yi,Z2~zi},
Л1Л3 = {а;з-Х1,2/3-2/1,23-zi} и			AiA4-{x4-xi,y4-yi,Z4-zi}.
В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произве­
дения имеем
К . =	1 ,,	1		(1)
	^ • V„n. =	^ 1(^1^2,^1^3,^1^4)1,

Оо

	1.6. Объем и высота тетраэдра	19
где FT. И УПГ	объемы тетраэдра и параллелепипеда,	построенных
на векторах Л1Л2, AiAs и А1А4)
С другой	стороны,

(2)

где согласно геометрическому смыслу векторного произведения

SAABC	=	^\[AiA2,AiA3]l
Сравнивал формулы (1) и (2), получаем
h =		1(^1^2, Ai Аз, AiA4)|					(3)
		|[AiA2,AiA3]|
SAA1A2A3
2. Вычисляем смешанное произведение:
		Х2 -XI	2/2 -	2/1	Z2	-	Zi
(AiA2,AiA3,AiA4)	=	хъ -XI	Уз-	2/1	Z3	-	zi
		Х4 -Xi	У4-	2/1	Z4	-	Zi

инаходим объем тетраэдра по формуле (1).

3.Вычисляем координаты векторного произведения:

[AiA2,AiA3] =			i		J			к		zzz
			Х2 ~	Xi	2/2 -		2/1	Z2~	zx
			Хз -	XI	2/3 -		2/1	2:3 -	zi
Л 2/2 -	2/1	Z2-	Zi	?	X2	— X\		Z2— Zi		-xx	У2 - 2/1
										X2 -
1 2/3 -	2/1	Z3 -	zi		X3	-	xi	Z3-	zx	) Х3 --xx	2/3 - 2/1

иего модуль.

4.Находим высоту h по формуле (3).

П Р И М Е Р .	ВЫЧИСЛИТЬ объем тетраэдра с вершинами A i ( 2 , 3 , l ) ,
^ 2 ( 4 , 1 , - 2 ) ,	Аз(6, 3, 7) и А 4 ( - 5 , - 4 , 8 ) и его высоту, опущенную из

вершины А4 на грань А1А2А3.

Р Е Ш Е Н И Е .

1. Из вершины Ах проведем векторы А1А2 = {2, —2, —3}, АхАз = {4,0,6} и А т = { - 7 , - 7 , 7 } .