- •Теоретические основы электротехники
- •Часть 2
- •Раздел 1
- •2Классический метод расчета переходных процессов
- •2.3Общие положения
- •2.4Задача и порядок расчета переходных процессов
- •2.6Включение конденсатора на постоянное напряжение
- •2.7Включение индуктивности на синусоидальное напряжение
- •2.8Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
- •2.9 Построение графиков зависимостей
- •2.10 Расчет переходных процессов в разветвленных цепях
- •3Операторный метод расчета переходных процессов
- •3.3Общие вопросы
- •3.4Переход от оригиналов к изображениям
- •3.5 Правила дифференцирования и интегрирования
- •3.6 Закон Ома в операторной форме
- •3.7 Второй закон Кирхгофа в операторной форме
- •3.8 Операторные схемы
- •3.9 Переход от изображений к оригиналам
- •3.10 Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
- •После преобразования получим
- •3.11 Передаточные функции
- •3.12Моделирование физических процессов с помощью электрических схем
2.4Задача и порядок расчета переходных процессов
Расчет переходных процессов направлен на определение законов изменения токов и напряжений на элементах электрической цепи. Общий порядок расчета заключается в составлении дифференциальных уравнений и их решении с учетом начальных условий. Сложность расчетов заключается в сложности составления уравнений и их решении. Поэтому вся теория расчета переходных процессов заключается в рассмотрении конкретных примеров.
2.5Включение катушки на постоянное напряжение
С
R
i
E
L
Рис.1.2
iR + uL = E, (1.1)
где uL = L di / dt .
С учетом последнего можно записать
. (1.2)
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью, т.е. неоднородное. Решение этого уравнения – зависимость тока от времени – i(t). Оно записывается в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения:
i = i’ + i’’ . (1.3)
С точки зрения электротехники частное решение есть принужденная составляющая, общее решение – свободная составляющая. Принужденная составляющая iпр – та составляющая тока, которая установится после окончания переходного процесса и полностью определяется источником и параметрами цепи. Свободная составляющая iсв связана с изменением запасов энергии в цепи (или их средних значений при переменном токе). Разделение на составляющие – искусственный прием, на самом деле в ветви протекает один суммарный ток
i = iпр + iсв. (1.4)
В данном случае принужденная составляющая определяется источником и активным сопротивлением: iпр = Е /R. Индуктивность на эту составляющую не влияет, так как его сопротивление постоянному току равно нулю. Свободная составляющая записывается в виде:
iсв = Ae t . (1.6)
Окончательно решение дифференциального уравнения запишется в виде:
i = E /R + Ae t , (1.7)
где А – постоянная интегрирования, подлежащая определению;
– корень характеристического уравнения.
Как известно из математики, характеристическое уравнение получается из дифференциального путем замены производной какой либо буквой (например, ) в соответствующей степени. В данном случае:
L + R = 0; и = – R / L .
Постоянная интегрирования определяется с учетом начального условия. Само начальное условие определяется на основе закона коммутации. Так как до коммутации цепь была разомкнута, то ток через индуктивность был равен нулю. Поэтому в первый момент после коммутации, т.е. при t = 0 ток так же был равен нулю. Тогда:
0 = Е / R + A 0 . (1.8)
Откуда A = – E / R . С учетом этого получаем закон изменения тока через индуктивность:
. (1.9)
Это экспоненциальный закон. Напряжение на индуктивности определяется через закон электромагнитной индукции:
. (1.10)
Величина, обратная корню характеристического уравнения и взятая с положительным знаком, называется постоянной времени. Эта величина имеет размерность времени и обозначается буквой τ. Она зависит только от параметров цепи и определяет скорость протекания переходного процесса.
Изобразим
переходный процесс графически. Зададимся
значениями времени t,
кратными постоянной времени: t
= τ, 2τ, 3τ, 4 τ.
Тогда величина (1-е-t/τ)
будет иметь значения 0,63, 0,86, 0,95, 0,98
соответственно. Графики изменения
тока
и нап
uL
E
i R
0
1 2 3 4 t(τ)
Рис.
1.3