3.4Переход от оригиналов к изображениям
Переход от одного вида в другой обозначается знаком соответствия:
,
(2.1)
и производится по прямому преобразованию Лапласа
.
(2.2)
Пусть функцией является постоянная величина: f(t) = E . Используем преобразование Лапласа.
,
(2.3)
отсюда следует, что изображение постоянной функции равно постоянной, деленной на оператор р.
.
;
(2.4)
,
.
,
(2.5)
.
(2.6)
.
(2.7)
.
(2.8)
3.5 Правила дифференцирования и интегрирования
П
усть
имеется функция и его изображение
.
Возьмем производную от оригинала:
. (2.9)
Это новая функция времени. Определим ее изображение по преобразованию Лапласа.
.
(2.10)
Воспользуемся методом интегрирования по частям:
.
Введем обозначения
.
(2.11)
Здесь второе слагаемое есть изображение оригинала, умноженное на оператор p, первое слагаемое раскрывается следующим образом. При подстановке верхнего предела первый сомножитель стремится к нулю. Второй сомножитель может стремиться к бесконечности. Однако все электротехнические функции стремятся к бесконечности медленнее, чем первый сомножитель к нулю. Поэтому произведение равно нулю.
Подстановка нижнего предела дает начальное условие. Таким образом
.
(2.12)
Окончательно:
.
Если начальные условия нулевые, т.е. – f(0) = 0, то
.
О тсюда следует, что дифференцированию оригинала соответствует умножению изображения на оператор р.
2. Пусть функция имеет изображение: f(t) == F(p). Возьмем интеграл от оригинала
.
(2.13)
Применим преобразование Лапласа к данной функции
.
(2.14)
Этот интеграл можно взять так же по частям. Но если t=0 , то ψ (0 ) = 0. Тогда
,
(2.15)
.
(2.16)
Интегрированию оригинала соответствует делению изображения функции на оператор р .