2.6Включение конденсатора на постоянное напряжение

Схема включения конденсатора на постоянное напряжение приведена на рис.1.4. Предположим, что конденсатор был заряжен до напряжения u_C(0) = U_C0. По второму закону Кирхгофа записываем уравнение:

(1.11)

Ток и напряжение на конденсаторе связаны соотношением

. (1.12)

С учетом этого получим уравнение:

.

R

i

E C

Рис.1.4

2Рис. 1.4

(1.13)

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого записывается аналогично приведенному выше:

. (1.14)

В данном случае принужденное значение напряжение на конденсаторе равно напряжению источника. А – постоянная интегрирования, подлежащая определению с учетом начального условия, и  - корень характеристического уравнения

, (1.15)

из которого . (1.16)

При t = 0 u_C(0) = U_CO, поэтому

, A= U_CO – E. .

Окончательно: u_C = E + (U_CO – E) e^{ t} . (1.17)

Если начальное напряжение на конденсаторе равно нулю, то последнее выражение принимает вид:

u_C = E – E e^{ t} = E(1- e^{ t}). (1.18)

Ток определяется как производная от напряжения:

. (1.19)

Г

i

E u_C

0 1 2 3 4 t(τ)

Рис. 1.5.

рафики изменения тока и напряжения на конденсаторе приведены на рис. 1.5. Напряжение конденсатора изменяется так же как ток в индуктивности от своего нулевого значения до установившегося по экспоненциальному закону. Ток сначала так же претерпевает скачок, а затем уже спадает до нуля.

2.7Включение индуктивности на синусоидальное напряжение

Если в схеме (см. рис.1.2) источник постоянной э.д.с. заменить источником синусоидальной э.д.с. (e = E_msin( t + ), то можно записать аналогичное уравнение:

. (1.20)

Это неоднородное уравнение первого прядка с тем же характеристическим уравнением с соответствующим корнем. Поэтому решение полученного уравнения можно записать по аналогии:

i = i_пр + Ae^{ t} . (1.21)

Однако определение принужденного режима и постоянной интегрирования несколько отличается. Принужденное значение рассчитывается так же как в цепи переменного синусоидального тока. В комплексной форме можно записать:

. (1.22)

В синусоидальной форме

i_пр =I_{пр m} sin( t + – φ) . (1.23)

При t = 0 i (0) = 0. Поэтому

0 = I_{пр m} sin( – φ) + Ae^{j 0} , (1.24)

A = – I_{пр m} sin( – φ) . (1.25)

Окончательно, закон изменения тока будет иметь следующий вид:

i = I_{пр m} sin( t + – φ) – I_{пр m} sin( – φ) e^{j t} . (1.26)

Напряжение на индуктивности равно

. (1.27)

i_пр i_пр

I_прm

₀ t о t

i_св i i_св

i_max i

а) в)

Рис.1.6

Правильность полученных выражений можно проверить, вычислив значения тока и напряжения в начальный момент времени, и сравнив полученные значения с начальными условиями. При t = 0 выражение для тока дает ноль, выражение для напряжения после некоторых преобразований дает u_L(0) = U_msin  . Так как в момент включения ток равен нулю, все напряжение источника прикладывается к индуктивности. Кривая тока вместе с составляющими приведена на рис.1.6, а. Она показывает, что по мере затухания свободной составляющей переходный ток стремится к своему установившемуся значению. Однако в начале переходного процесса амплитуда тока превышает амплитуду установившегося значения, что зачастую приводит к ложным срабатываниям релейной защиты. Здесь возможны два крайних случая – свободная составляющая равна нулю, и свободная составляющая максимальна.

Переходный процесс отсутствует, если свободная составляющая равна нулю. При этом sin ( - ) = 0, из чего следует, что  = . Это значит, качество переходного процесса зависит от момента коммутации. Если включить рубильник в момент перехода ожидаемого тока через ноль, то переходного процесса не будет.

Если sin ( - ) = 1, то свободная составляющая максимальна (рис.1.6, в).