2.10 Расчет переходных процессов в разветвленных цепях

L

R₂ ­ i_L­ i_C i₁

E C R₁

Рис.1.11

Рассмотрим разветвленную цепь с двумя накопителями энергии. (рис. 1.11)

Расчет производится в следующем порядке.

1. Определяются основные начальные условия исходя из законов коммутации:

, (1.55)

. (1.56)

2. Принужденный режим:

.

3. Неосновные начальные условия. Для их определения необходимо записать дифференциальные уравнения на основании законов Кирхгофа.

(1') (2') (3') (4') (5')

Запишем эти уравнения для момента времени t = 0 – правый столбик. Из полученной системы выразим неосновные начальные условия, из которых в основном нужны значения производных в начальный момент времени. Из уравнения (2') с учетом (3') и основных начальных условий имеем

(1.57)

Тогда из (4') с учетом последнего выражения получим

. (1.58)

Из уравнения (5') с учетом (1') и (3') получим

. (1.59 )

4. Для нахождения корней характеристического уравнения записываем выражение для входного сопротивления на переменном токе:

. (1.60)

Заменив jω на  и, приравняв нулю полученное выражение, будем иметь

. (1.61)

Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:

. (1.62)

Это и есть характеристическое уравнение. Перепишем его в виде

, или . (1.63)

Введем обозначения: .

Тогда .

5. Решение дифференциального уравнения записывается в виде

(1.64)

где А₁ и А₂ постоянные интегрирования, которые определяются с учетом основных и неосновных начальных условий (смотри выше).

3Операторный метод расчета переходных процессов

3.3Общие вопросы

Классический метод расчета переходных процессов, основанный на решении дифференциальных уравнений, показывает, что законы изменения токов и напряжений состоят в основном из экспоненциальных функций. Это позволяет формализовать процесс решения задачи, т.е. заменить дифференциальные уравнения алгебраическими.

В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа, которое заменяет функцию действительной переменной (t) функцией комплексной переменной p =σ + j , которая называется оператором. При этом функция действительной переменной называется оригиналом, функция комплексной переменной – изображением. В операторном методе:

1. Записывают уравнения в классической форме на основе законов Кирхгофа. Эти уравнения превращаются в дифференциальные при подстановке в них зависимостей тока и напряжения на индуктивности и емкости.

2. Производят переход от оригиналов к изображениям.

3. Разрешают полученную систему алгебраических уравнений относительно изображений переменных.

4. Осуществляют переход от изображений к оригиналам.