1. Матрицы и операции над ними
Система из m n элементов аij некоторого множества К, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m n. Часто К – это множество всех действительных чисел или множество всех комплексных чисел.
В подробной записи матрица А с элементами аij размерности mхn имеет вид
А=(
)
Если число строк в матрице равно числу cтолбцов (m=n), то матрица называется квадратной, а число строк (число столбцов) – ее порядком. В остальных случаях матрицы называют прямоугольными.
Две матрицы А=(аij) и В=(bij) одинаковой размерности m n называются равными (пишут А=В).
Основными операциями над матрицами являются следующие три операции:
-умножение матрицы на действительное число.
-сложение матриц.
- умножение матриц.
Таким образом, умножить матрицу А на число α означает, что надо умножить каждый элемент данной матрицы на это число.
Суммой двух матриц одинаковой размерности называется
матрица С = А+В такой же размерности m×n.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С = АВ размерности m×s, элементы Сik которой находятся по формуле
Cik
= ai1b1k + … + ainbnk =
(i
=1,…,m; k = 1,…,s).
Отметим, что матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если произведение АВ суще-
ствует, то ВА может и не существовать. В общем случае АВ ≠ ВА, т.е. матрицы при ум-
ножении не перестановочны (не коммутируют).
2. Определители 1,2 и 3 порядков
Каждой квадратной матрице А по определенным правилам ставится в соответствие число, называемое определителем или детерминантом этой матрицы. Обозначения определителя следующие: |А|, ∆(А), det А. Если матрица задана своей таблицей, то определитель обозначают путем заключения этой таблицы вертикальными чертами. Определителем первого порядка, соответствующим матрице А = (а11) первого порядка, называется сам элемент а11:
∆(А) ≡ |а11| = а11.
Определители квадратных матриц второго порядка называются определителями второго порядка. Это число определяется равенством
= а11 а22 – а21 а22
определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на второй (побочной)
диагонали.
Определителем квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называется число, определяемое по формуле
= a11 a22
a33+ a12 a23 a31+ a21 a32 a13 – a31 a22 a13 – a21 a12 a33 –
a32 a23 a11
3.Миноры и алгебраические дополнения элементов.
Определители n-го порядка
Определители квадратных матриц второго и высшего порядков вычисляются методом разложения определителя по элементам строки (столбца). Для этого вводятся понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А порядка n ≥ 2 называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из элементов матрицы А (без изменения их распо ложения) путем вычеркивания i –й строки и j – го столбца, на пересечении которых
находится элемент аij
Алгебраическим дополнением (адъюнктом) Аij элемента аij называется число, определяемое равенством Аij = (-1)i+jMij .
Тогда определители второго и третьего порядков вычисляются методом разложения по элементам какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца).
Например: = а11 А11 + а12А12
вычисление определителя второго порядка сведется к вычислению определителей
первого порядка, а вычисление определителя третьего порядка – к вычислению определителей второго порядка.
Определитель n-го порядка введем по определению как разложение по элементам первой строки:
=
=a11A11+…+a1nA1n
Формула позволяет вычислить определитель n-го порядка через определители (n-1)-го порядка, постепенно снижая порядок до вычисления определителей второго порядка.
Доказывается, что определитель n-го порядка можно вычислять разложением поэлементам любой его строки (любого его столбца). На практике надо вычислять определитель разложением по элементам той строки (того столбца), в которой (в котором) имеется больше всего нулей, т.к. это позволяет не вычислять миноры Мij тех элементов аij, которые равны нулю.