- •1. Матрицы и операции над ними
- •2. Определители 1,2 и 3 порядков
- •3.Миноры и алгебраические дополнения элементов.
- •4.Свойства определителей
- •5. Алгоритм Гаусса
- •6.Общие сведения о сист лин алг уравн
- •7. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразованиях.
- •8.Исследование систем методом Гаусса.
- •9. Метод Крамера
- •10.Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.
- •11. Обратная матрица и ее нахождение.
- •12.Матричный метод решения систем.
- •13.Ранг матрицы, теоремы о ранге.
- •14.Критерий совместности системы( теорема Кронекера-Капелли).
- •15.Критерий определенности системы линейных уравнений.
- •16.Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом Жордана-Гаусса.
- •17. Канонические системы. Преобразование однократного замещения.
- •18.Геометрические векторы и операции над ними.
- •19. Базисы и разложение векторов по базисам.
- •20.Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •22. Прямая линия на плоскости.
- •23. Взаимное расположение прямых линий на плоскости
- •24.Окружность и эллипс(канонические уравнения).
- •25.Парабола(каноническое уравнение).
- •27.Исследование квадратичной функции.
- •28. Исследование дробно-линейной функции.
- •29. Примеры лз оптимизации.
- •30. Классификация задач лп
- •31. Графический метод решения задач лп:
- •32. Теоремы симплексного метода.
- •33. Алгоритм симплекс-метода:
14.Критерий совместности системы( теорема Кронекера-Капелли).
Под расширенной матрицей системы будем понимать матрицу, включающую в себя столбец свободных членов (после черты). В результате элементарных преобразований строк расширенная матрица приводится к одному из трех случаев:
В первом случае система имеет единственное решение.
Во втором случае система уравнений имеет бесконечное множество решений и в третьем она несовместна.
Установить, совместна ли система
или несовместна (без нахождения ее решений) позволяет теорема Кронекера-Капелли: необходимым и достаточным условием совместности системы (1) является условие равенства рангов матрицы А системы и расширенной матрицы А(с черт):
r(A) = r(Ас черт ).
Так как теорема дает необходимое и достаточное условие совместности системы, то ее называют критерием совместности системы линейных уравнений.
Заметим, что либо r(А с черт ) = r(A), либо r(А счерт ) = r(A) + 1. Если r(А с черт ) > r(A), то система (1) противоречива.
1) если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение;
2) если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решения не существует.
15.Критерий определенности системы линейных уравнений.
Критерием определенности системы является утверждение: условие r(A) = n является необходимым и достаточным условием определенности совместной системы линейных уравнений.
Если система совместна и ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n: r < n, то система имеет бесконечное множество решений.
В случае r < n любые r неизвестных, определитель из коэффициентов при которых отличен от нуля, называются основными или базисными неизвестными, а остальные (n – z) неизвестных называются свободными или параметрическими неизвестными. Все решения системы (3.1) можно получить следующим образом. Оставим в левых частях уравнений все члены с базисными переменными. Члены же с остальными (свободными) неизвестными перенесем в правые части уравнений. Будем придавать параметрическим неизвестным произвольные, но фиксированные значения. Тогда правые части будут конкретными числами. Получится система только относительно базисных переменных (r уравнений и r неизвестных), определитель которой (ранговый минор r-го порядка) отличен от нуля. Эта конкретная система имеет единственное решение, которое может быть найдено методами, изученными в теме 4. Каждому набору значений свободных неизвестных будет соответствовать единственное решение системы (3.1). Произвольность выбора значений свободных неизвестных означает, что система имеет бесконечное множество решений (является неопределенной).
(Можно выписать формулы общего решения системы (3.1), т.е. решения, из которого получаются все решения данной системы. Каждое конкретное решение системы (3.1) называется ее частным решением.)