- •1. Матрицы и операции над ними
- •2. Определители 1,2 и 3 порядков
- •3.Миноры и алгебраические дополнения элементов.
- •4.Свойства определителей
- •5. Алгоритм Гаусса
- •6.Общие сведения о сист лин алг уравн
- •7. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразованиях.
- •8.Исследование систем методом Гаусса.
- •9. Метод Крамера
- •10.Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.
- •11. Обратная матрица и ее нахождение.
- •12.Матричный метод решения систем.
- •13.Ранг матрицы, теоремы о ранге.
- •14.Критерий совместности системы( теорема Кронекера-Капелли).
- •15.Критерий определенности системы линейных уравнений.
- •16.Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом Жордана-Гаусса.
- •17. Канонические системы. Преобразование однократного замещения.
- •18.Геометрические векторы и операции над ними.
- •19. Базисы и разложение векторов по базисам.
- •20.Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •22. Прямая линия на плоскости.
- •23. Взаимное расположение прямых линий на плоскости
- •24.Окружность и эллипс(канонические уравнения).
- •25.Парабола(каноническое уравнение).
- •27.Исследование квадратичной функции.
- •28. Исследование дробно-линейной функции.
- •29. Примеры лз оптимизации.
- •30. Классификация задач лп
- •31. Графический метод решения задач лп:
- •32. Теоремы симплексного метода.
- •33. Алгоритм симплекс-метода:
8.Исследование систем методом Гаусса.
-метод последовательного исключения неизвестных. Предположим, что в системе
какой-нибудь коэффициент при х1 отличен от нуля. Без ограничения общности можно считать, что а11≠ 0. В этом случае коэффициент а11 называется разрешающим или ведущим элементом. Первое уравнение называется разрешающим, а первый столбец – разрешающим столбцом.
При первой шаге из всех последующих уравнений исключается неизвестной х1. Далее, если во втором уравнении а22*≠ 0, то этот элемент объявляем разрешающим. Выполняем действия второго этапа. Первое и второе уравнения преобразованной системы оставляем неизменными. У всех остальных уравнений исключаем неизвестное х2. И так далее.
Здесь а11, а22*, …, аrr* не равны нулю. При этом r ≤ m и r ≤ n.
Переход от системы (1) к системе (2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Систему линейных уравнений вида (2) называют ступенчатой системой. Если r<n, то она имеет трапецоидальный вид. Если r = n, то получим следующую треугольную систему:
Матрица системы (3) имеет треугольный вид (при этом а11 ≠ 0, а22* ≠ 0, …, аrr* ≠ 0).
Пусть r = n, т.е. преобразованная система имеет треугольную форму (3). Тогда система (1) совместна и определенна. Единственное решение этой системы находится следующим образом. Из последнего уравнения находим вполне определенное значение хn:
xn = (a*nn≠0)
Подставляя это хn в предпоследнее уравнение системы (3), найдем конкретное значение хn – 1.
Пусть теперь r < n, т.е. система имеет трапецоидальный вид. Тогда она имеет бесконечное множество решений
В общем случае разрешающим может быть любой элемент ask ≠ 0. Тогда к системам вида (2) или (3) можно перейти лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных и уравнений. Для нахождения же самого решения исходной системы эта нумерация не нужна.
Однородная система треугольного вида всегда совместна. Если в посл системе m < n, то помимо очевидного (тривиального) решения, она имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Если m = n, то решение либо единственно (это нулевое решение), либо их бесчисленное множество.
9. Метод Крамера
Система линейных алгебраических уравнений называется крамеровской, если число m уравнений совпадает с числом n неизвестных и определитель ∆(А) квадратной матрицы А данной системы отличен от нуля. Определитель ∆(А), называемый определителем системы, имеет вид
= (1)
Каждая крамеровская система линейных уравнений совместна и определенна, т.е. имеет единственное решение, которое определяется формулами Крамера
x1 = ,…,xj= ,…,xn=
Здесь Δj (j = 1, …, n) есть определитель, получающийся из определителя (1) системы путем замены его j – го столбца столбцом из свободных членов система.
Если Δ = 0 и хотя бы один из определителей Δj не равен нулю, то система не совместна. Если Δ = 0 и все определители Δj равны нулю, то система может быть совместной (тогда она имеет бесконечно много различных решений) или несовместной.
Для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера нужно вычислить определители Δ,Δ x1, Δ x2, Δ x3, где Δ – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, Δ x1, Δ x2, Δ x3 получены из Δ заменой столбцов коэффициентов при x1, x2, x3 соответственно на столбец свободных членов.
При этом, если 1) Δ не= 0, система имеет единственное решение 2) Δ = Δ x1= Δ x2= Δ x3=0, система несовместна или имеет бесконечное множество решений; 3) Δ =0 и хотя бы один из Δ x1, Δ x2, Δ x3 отличен от нуля, система несовместна.