18.Геометрические векторы и операции над ними.

Геометрическим вектором называется отрезок, концы которого взяты в определенном порядке.

Вектор обозначается двумя буквами А и В,

При этом первая точка А называется началом вектора, вторая точка В - его концом. Направление вектора на рисунке отмечается стрелкой с острием в точке В.

Расстояние р (А,В) между началом и концом вектора называется длиной этого вектора. Для длины вектора будем применять следующие обозначения; |АВ|, \а\.

Вектор, у которого конечная точка совпадает с начальной, называется нулевым или нуль-вектором (0 - его обозначение). Нулевой вектор не имеет определенного направления. Длина нулевого вектора равна нулю (|0|=0).

Нулевой вектор можно считать коллинеарным любому другому вектору. Все нулевые векторы считаются равными между собой.

Нулевой вектор считается компланарным любому другому.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными. Два коллинеарных вектора, имеющие противоположные направления, называются противоположно направленными.

Векторы, лежащие на одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов а и b называется третий вектор а + Ь, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец - с концом вектора b, перенесенного своим началом в конец вектора а. Приведенное правило получения суммы векторов для неколлинеарных векторов обычно называют правилом треугольника(1)

Построение суммы двух неколлинеарных векторов можно провести по правилу параллелограмма, которое равносильно правилу треугольника

Разностью а - b двух векторов а и b называется сумма вектора а и вектора, противоположного вектору b, т.е. а-Ь=а + (-Ь).

Таким образом, вектор альфа* а удовлетворяет следующим условиям:

1) |α a| = |α|*|a

2)|α|↑↑ a(a>0) и |α|↑↓ a(a<0)

19. Базисы и разложение векторов по базисам.

Базис вектора - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов. . Любое конечное множество векторов   называется системой векторов.

, где  называется линейной комбинацией системы векторов  , ачисла   называются коэффициентами этой линейной комбинации.

 Определение. Базисом векторного пространства   называется любой ненулевой вектор  , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный прямой L:   и  .

Обозначение базиса  :  – базис  .

Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве   по определению, в прострастве   два вектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, в пространстве   три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.

Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть   – произвольный вектор,   – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                    ,                       (1)

то говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов   является базисом векторного пространства, то равенство  называется разложением вектора   по базису  . Коэффициенты линейной комбинации   называются в этом случае координатами вектора   относительно базиса  .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и  –базис  .