4.Свойства определителей

Свойство 1.

Определитель не меняется при транспонировании, т.е. Δ(А)= Δ(А^T).

Свойство 2.

При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.(Для определителей 3го порядка свойство можно доказать непосредственным применением правила треугольника.)

Свойство 3.

(для определителей 2го и 3го порядка). Определитель n-го порядка = сумме произведений элементов любой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

= ai1 Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,…,n)

Свойство 4.

Определитель у которого две строки одинаковы = 0.

Свойство5.

Если все элементы какой-либо строки определителя = 0, то и определитель =0.(Это св-во вытекает из свойства 3, только нужно разложить этот определитель по элементам его нулевой строки.)

Свойство6.

Если все элементы какой-нибудь строки определителя умножить на одно и то же число альфа, то значение определителя умножится на это число.

Свойство7.

Определитель у которого элементы 2х строк соответственно пропорциональны = 0.

Свойство8.

Пусть каждый элемент i-ой строки определителя есть сумма 2х слагаемых:

Aij = bj + cj (j=1,…,n)

Тогда заданный определитель = сумме 2х определителей: у одного из них i-ая строка состоит из элементов bj , а у другого- из элементов cj; все остальные строки этих 2х опред-й , кроме i-ой, имеют такие же элементы, как и исходный определитель

Свойство9.

Определитель не изм-ся, если к элементам какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Свойство10.

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки = 0, т.е.

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 (i≠j)

Доказательство. Пусть Δ(А) - определитель квадратной матрицы А. Заменим в матрице А j-ю строчку её i-ой строчкой, а все остальные строки, включая i-ю, оставим без изменения. В результате получим новую матрицу В, у которой i-я и j-я строки совпадают. По свойству 4 опр-ль этой матр =0: Δ(В)=0. Теперь вычислим определитель матрицы В разложением по элементам j-ой строки. При этом учтем , что миноры элементов j-й строки матрицы В совпадают с минорами соответствующих элементов j-й строки матрицы А. Тогда совпадают и алгебр дополнения элементов j-й строки матриц А и В. В результате получим:

Δ(B) = ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn

Отсюда получаем 1е, т.к. ранее установлено, что Δ(В)=0.

Теорема. Определитель произведения 2х матриц n-го порядка = произведению определителей этих матриц: Δ(АВ)= Δ(А)* Δ(В).

5. Алгоритм Гаусса

Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.

Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.

Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.

Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк

Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:

ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11 .

переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.