23. Взаимное расположение прямых линий на плоскости

Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

 (12)

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l₁ и l₂, надо решить систему уравнений (12):  1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l₁ и l₂ пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l₁ и l₂ параллельны;  3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l₁ и l₂ совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

24.Окружность и эллипс(канонические уравнения).

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости имеет вид

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности. Некоторые уравнения вида Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+G=0 в результате преобразований могут быть приведены к виду

Такое уравнение определяет окружность с центром в точке С(альфа,бетта) и радиусом r .

Уравнение посл называется нормальным уравнением окружности.

Эллипс есть линия, симметричная как относительно оси абсцисс Ox так и относительно оси ординат Oy. Точку пересечения осей симметрии называют центром эллипса. Точки А (а, 0), Аштр ( а, 0), В(0, b), Bштр (0, b), в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами.

При a= b уравнение посл есть уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай

эллипса.

Уравнение Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+G=0 может привестись и к виду:

, где b²=a²-c²

которому удовлетворяет лишь начало координат. Принято говорить, что уравнение посл определяет вырожденный эллипс.

25.Парабола(каноническое уравнение).

Линия, описываемая уравнением

x²= 2py

называется параболой, а само уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Ось Ox является осью симметрии этой параболы. Точка пересечения параболы

с осью симметрии называется вершиной параболы. Точка F(p/2,0) называется фокусом параболы. Прямая, определяемая уравнением: x= -p/2 (прямая. NQ на графике,), называется директрисой параболы. Число p называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

Парабола есть геометрическое место точек М(x, y) плоскости

При положительном p уравнение y^2= -2px определяет уже параболу, расположенную в левой полуплоскости, с вершиной в начале координат.

При положительном q каждое из уравнений:

определяет параболу с вершиной в начале координат, расположенную уже симметрично относительно оси Oy. Фокус таких парабол лежит на оси Oy. Первое уравнение из последних задает параболу, лежащую в верхней полуплоскости, а второе в нижней.

Уравнения y^2= -2px и последние также называются каноническими уравнениями

парабол.

26.Гипербола(каноническое уравнение).

Линия, описываемая уравнением

называется гиперболой, а само уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Координатные оси являются осями симметрии, центр симметрии - начало координат. Центр симметрии называется центром гиперболы. Данная гипербола пересекает

ось абсцисс Ox в двух точках А1 ( а, 0) и А2(а, 0), которые называются вершинами гиперболы. Ось ординат Oy не имеет общих точек с этой гиперболой. Поэтому ось

Ox называется действительной осью гиперболы, а ось Oy - мнимой осью.

Для построения гиперболы, заданной уравнением посл, нужно построить прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично относительно осей координат и касающийся гиперболы в ее вершинах А1 и А2. Отрезок А1А2 имеет длину 2а,

а В1В2 - 2b. Говорят, что уравнение посл определяет гиперболу с полуосями a и b.

Прямые, совпадающие с диагоналями так построенного прямоугольника, имеют уравнения

Эти прямые называются асимптотами гиперболы.

Гипербола с равными полуосями ( a =b ) называется равносторонней. Асимптота-

ми равносторонней гиперболы являются перпендикулярные прямые y=+- x.

Две гиперболы, которые определяются каноническими уравнениями 1м и посл в одной и той же системе координат с одними и теми же значениями a и b, называются сопряженными.