Розділ і.

Весь час математики шукали загальний метод розв’язання усіх математичних задач. Це є проблемою, порівняною за складністю з такими, наприклад, як відшукання філософського каменя або формули кохання. Загальний метод поки що не знайдений, але на шляху до нього генії математики зробили ряд відкриттів, цінність кожного з яких є нескінченною. Одним з них є відкриття французькими математиками Рене Декартом (1596 – 1650) і П’єром Ферма (1601 – 1650) аналітичної геометрії. Датою народження цього розділу математики вважається 1637 р., коли Декарт опублікував книгу „Геометрія” з викладенням основних положень аналітичної геометрії, зокрема, її основного методу – методу координат. Є свідчення, що Ферма прийшов до цього відкриття ще раніше, але він був страшенно неохочим до публікацій і свої відкриття занотовував на полях книжок; аналітична геометрія у баченні Ферма була опублікована лише у 1679 р. вже після смерті автора.

Математикам давно відомо, що розв’язання задачі суттєво полегшується і прискорюється, коли вдається за фігурами бачити числа, а за числами фігури. Тепер ми знаємо, чому. З числами оперує ліва півкуля головного мозку, а з образами, зокрема, геометричними, – права, і поєднання чисел з фігурами підключає до розв’язання задачі головний інформаційно-обчислювальний центр людини – мозок – у повному об’ємі.

Аналітична геометрія йде ще на один крок (величезний крок!) далі: вона дає геометричним об’єктам арифметико-алгебраїчний опис: точкам співставляє координати, прямим і площинам – алгебраїчні лінійні рівняння, фігурам і тілам – системи алгебраїчних нерівностей і т.д. Геометрія дає якісну картину (форму, взаємне розташування геометричних фігур), уточнення якої (координати, розміри, відстані) здійснює алгебра.

Метод координат – основний метод аналітичної геометрії – був би не таким ефективним, якби його не підсилила векторна алгебра, яка є „технологічною базою” аналітичної геометрії (термін „вектор” у математичному розумінні було введено лише у 1846 р. ірландським фізиком і математиком Гамільтоном). Можна сказати, що координати і рівняння здійснюють „прив’язку” геометричних об’єктів до певного місця, тоді як вектори взяли на себе „відповідальність” за напрямки.

§1. Метод координат.

Поняття числової осі. Декартова система координат на площині і в просторі. Координати точки. Відстань між двома точками. Рівняння кола. Рівняння сфери. Теорема Фалеса і ділення відрізка у заданому відношенні. Пряма лінія на площині (загальне рівняння прямої, рівняння з кутовим коефіцієнтом, канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, рівняння прямої у відрізках). Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Приклади застосування методу координат (задачі знаходження найближчої точки до даної точки на даній прямій, знаходження на даній прямій точки з мінімальною сумою відстаней до заданих точок). Площина в просторі (загальне рівняння площини, рівняння площини у відрізках).

1.1. Декартова система координат. Координати точки.

Метод координат і є тим „містком”, який сполучає фігури і числа, тобто реалізує ідею за числами бачити фігури, а за фігурами числа.

Найпростіша геометрична фігура – точка – нескінченно мала „цеглинка”, з яких побудовані всі інші фігури. Евклід дав такі означення: точка – це те, частина чого є ніщо, лінія – це довжина без ширини. „Означення” Евкліда – не є означеннями в строгому розумінні, це лише образи, породжені нашими відчуттями. Аналітична геометрія звужує множину невизначених первісних понять і саме за допомогою методу координат.

Точка – найпростіше геометричне поняття. Число – найпростіше арифметичне (алгебраїчне, аналітичне) поняття. За „стратегічною” ідеєю аналітичної геометрії треба точці – геометричному поняттю – поставити у відповідність „щось” арифметичне.

Розв’язання задачі про визначення місця для побудови збагачувальної фабрики між двома шахтами (див. вступ) здійснене саме з використанням методу координат. Воно починається з малюнка і слів:

0 90

А В

Позначимо шахти точками А і В на числовій прямій.

Означення (числової прямої (або числової осі)). Числовою прямою називається пряма, кожна точка якої ототожнена з дійсним числом: вибрано початкову точку О (початок координат) – число 0 , один вважається додатнім, відрізок , що є одиницею виміру довжин — масштаб.

Кожному дійсному числу ставиться у відповідність одна і тільки одна точка числової прямої за таким правилом:

числу 0 відповідає точка O, яка називається початком координат; кожному числу відповідає точка A, яка лежить на відстані праворуч від початкової точки O; кожному числу відповідає точка A, яка лежить на відстані ліворуч від початкової точки O ( віддаль вимірюється вибраним масштабом). Число a називається координатою точки A, позначається A(a). Отже, усім дійсним числам відповідають точки числової прямої.

Означення (декартової системи координат). Дві взаємно перпендикулярні числові осі Ox і Oy, що мають спільний початок O та мають певне узгодження за напрямком, називають декартовою прямокутною системою координат на площині з початком координат в точці O та осями координат  віссю абсцис Ox та віссю ординат Oy ; площину на якій задана система координат, називають координатною площиною.

На практиці найчастіше використовують координатні осі з рівними масштабними відрізками, але це не є обов’язковою вимогою.

Нехай M  довільна точка координатної площини. Спроектуємо ортогонально точку М на осі Ox і Oy . Відповідні проекції (точки) позначимо M_x і M_y . Ці проекції є точками числових осей, отже їх можна ототожнити з певними числами х (абсциса) і у (ордината).

Означення (координат точки). Числа x, y (записані у вказаному порядку), що є проекціями точки М на координатні осі, називають координатами точки M ; при цьому пишуть M(x, y).

Отже, кожній точці площини ставиться у відповідність впорядкована пара дійсних чисел (x, y)  декартових прямокутних координат цієї точки. У свою чергу, кожна впорядкована пара дійсних чисел (x, y) визначає єдину точку M, для якої x є абсцисою, а y  ординатою. Таким чином, введення на площині прямокутної декартової системи координат встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини і впорядкованими парами дійсних чисел.

Цілком аналогічно вводиться поняття декартової системи координат в просторі і координат просторової точки:

Означення (Декартової системи координат в просторі). Декартовою системою координат в просторі називається трійка взаємно перпендикулярних числових осей, точка перетину яких є нулем кожної з осей і додатні напрямки вибрані так, щоб система координат була правильною:

Якщо на площині або в просторі введена декартова система координат, тоді площина і простір звуться координатними, і тоді кожній точці взаємно однозначно відповідають пара чисел для площини і трійка чисел для простору, які однозначно визначають положення точки. Можна сказати, що координати точки – це її „адреса” на площині або в просторі.