1.2. Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери.

Формула відстані між двома точками, заданими своїми координатами, безпосередньо випливає з теореми Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин його катетів:

Нехай маємо дві точки на координатній площині:

Сполучивши точки і та провівши горизонтальну пряму через точку  і вертикальну пряму через точку , отримаємо прямокутний трикутник  . Довжина гіпотенузи цього трикутника — це відстань між точками і . Довжина катета дорівнює ; довжина катета дорівнює . Позначимо через відстань між точками і . З теореми Піфагора маємо:

,

звідки випливає формула

Ця формула дозволяє “перекласти” на аналітичну мову означення кола і сфери. Коло — це геометричне місце точок площини, що розташовані на деякій фіксованій відстані (яка називається радіусом), від деякої фіксованої точки (яка називається центром). Нехай заданий радіус дорівнює , центром кола є точка , а “біжучою” точкою кола є .

Тоді, з використанням формули відстані між двома точками, означення кола перейде у рівняння:

.

Аналогічні формули мають місце для тривимірного простору. А саме, якщо та — задані просторові точки, то відстань між ними обчислюється за формулою:

.

Для виведення цієї формули замість прямокутного трикутника треба розглядати прямокутний паралелепіпед та його діагональ.

Якщо в означенні кола замінити слово площини на слово простору, — ми отримаємо означення сфери та її рівняння:

.

1.3. Ділення відрізка у даному відношенні.

Формула ділення відрізка в заданому відношенні грунтується на теоремі Фалеса: якщо дві дані прямі перетнути трьома (або більшою кількістю) паралельних прямих, то відношення довжин відрізків, що відтинаються цими паралельними прямими на одній з даних прямих, дорівнює відношенню довжин відповідних відрізків на другій з даних прямих.

Розглянемо задачу ділення заданого відрізку прямої на координатній площині на рівних частин. Це означає: за заданими координатами кінців відрізку , (розглядаємо задачу для випадку площини) знайти координати точок ділення , , …, , так що

.

Виходячи з теореми Фалеса, відрізки та , які є проекціями даного відрізку на координатні осі, також поділені на рівних частин. Отже,

,

.

Звідси,

, ;

, .

Остаточно маємо координати точок ділення:

,

,

………………………

,

………………………

.

Тепер розглянемо задачу ділення заданого відрізку прямої на координатній площині у заданому відношенні . Це означає: за заданими координатами кінців відрізку , знайти координати точки ділення цього відрізку так, щоби відношення довжин відрізків та дорівнювало :

Треба знайти координати точки , виходячи з того, що відношення довжин відрізків та має дорівнювати :

.

Повторюючи міркування з попередньої задачі, маємо:

.

Аналогічно отримуємо

.

Зокрема, якщо треба поділити відрізок навпіл, то точка ділення буде мати такі координати:

,

.

Аналогічні формули мають місце для випадку простору.