1.5. Площина в просторі.

Площина в просторі “поводить” себе подібно до прямої лінії на площині. Зокрема, площину можна задати за допомогою загального рівняння та рівняння “у відрізках”, які повністю аналогічні наведеним вище аналогічним типам рівнянь прямої на площині:

— загальне рівняння площини:

;

— рівняння площини “у відрізках”:

.

В цьому рівнянні , і — це відрізки, які площина відтинає на координатних осях; точніше, дана площина проходить через точки , і .

Є також аналог для площини рівняння прямої, що проходить через дві задані точки: рівняння площини, що проходить через три задані точки. Це рівняння ми виведемо пізніше, оскільки воно, як і практично всі більш-менш складні задачі аналітичної геометрії вимагають застосування потужного, ефективного і елегантного апарату, який називається „векторна алгебра”.

1.6. Пряма лінія в просторі.

Одна з аксіом Евкліда постулює: через дві різні точки проходить пряма і тільки одна. В аналітичній геометрії цій аксіомі відповідає канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:

;

тут і — координати відповідних точок.

Зрозуміло, що не для всякої прямої можна скласти канонічне рівняння: якщо хоча б одна пара відповідних координат у точок співпадає, то принаймні один знаменник буде дорівнювати 0. В той же час будь-яка пряма лінія в просторі може бути задана загальним рівнянням. Тільки це рівняння не є рівнянням у буквальному розумінні цього терміну. Отже, загальне рівняння прямої в просторі:

.

Загальне рівняння, як бачимо, є не рівнянням, а системою двох рівнянь. Кожне рівняння визначає площину в просторі. Це означає, що загальне рівняння визначає пряму лінію в просторі як лінію перетину двох площин.

Якщо придивитись до канонічного рівняння прямої, то можна сказати, що це також, в принципі не є рівнянням, бо в ньому є два знака рівності. То ж виникають, наприклад, такі питання: як перейти від канонічного рівняння до загального і, навпаки, від загального до канонічного? Пропонуємо ці питання для самостійного обмірковування для конкретних заданих прямих:

Вправа 1. Перейти від канонічного рівняння прямої

до загального.

Вправа 2. Перейти від загального рівняння прямої

до канонічного.

Вправа 3. Скласти канонічне і загальне рівняння прямої, що проходить через точки .

Вправа 4. Вказати координати двох точок, що належать прямій

.

1.7. „За числами бачити фігури”.

Розглянемо просту задачу, яка яскраво ілюструє цю ідею.

Задача. Знайти найбільше значення параметра , при якому система

має два розв’язки.

Нашого знайомства з методом координат вже достатньо для того, щоб побачити за першим рівнянням системи коло з центром у початку координат, а за другим рівнянням – пряму, що проходить через точки . Отже, алгебраїчна задача еквівалентна геометричній задачі: при якому найбільшому значенню параметра вказані коло і пряма перетинаються у двох точках? Переходимо до малюнку:

Що можна сказати, аналізуючи малюнок? Можна сказати, що найбільше значення параметру , при якому коло і пряма перетинаються, відповідає значенню параметра . Якщо зменшити на будь-яке, хоча б і дуже маленьке число, точок перетину у кола і прямої буде вже 2. Отже ... (остаточний висновок і відповідь зробіть і дайте самостійно).

Вправа. Знайти найбільше значення параметра , при якому система

має два розв’язки.